相似三角形證明技巧-專(zhuān)題(編輯修改稿)
2025-04-21 06:32 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，BE⊥AC交AC于F，過(guò)F作FG∥AB交AE于G．求證：AG 2＝AFFC 4說(shuō)明：證明線段的等積式，可先轉(zhuǎn)化為比例式，再用等線段替換法，然后利用“三點(diǎn)定形法”確定要證明的兩個(gè)三角形相似．、例5 如圖在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，且AD＝AC，DE⊥BC，交AB于點(diǎn)E，EC交AD于點(diǎn)F．(1)求證：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的長(zhǎng)．5說(shuō)明：要證明兩個(gè)三角形相似可由平行線推出或相似三角形的判定定理得兩個(gè)三角形相似．再由相似三角形的面積比等于相似比的平方及比例的基本性質(zhì)得到線段的長(zhǎng)．例6 如圖10過(guò)△ABC的頂點(diǎn)C任作一直線與邊AB及中線AD分別交于點(diǎn)F和E．過(guò)點(diǎn)D作DM∥FC交AB于點(diǎn)M．(1)若S△AEF：S四邊形MDEF＝2：3，求AE：ED； (2)求證：AEFB＝2AFED 6說(shuō)明：由平行線推出兩個(gè)三角形相似，再由相似三角形的面積比等于相似比的平方及比例的基本性質(zhì)得到兩線段的比．注意平截比定理的應(yīng)用．例7 己知如圖11在正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，P是CD邊的中點(diǎn)，Q在線段BC上，當(dāng)BQ為何值時(shí)，△ADP與△QCP相似？ 7說(shuō)明：兩個(gè)三角形相似，必須注意其頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．然后再確定頂點(diǎn)P所在的位置．本題是開(kāi)放性題型，有多個(gè)位置，應(yīng)注意計(jì)算，嚴(yán)防漏解．例8 己知如圖12在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝900，AB＝7，AD＝2，BC＝3．試在邊AB上確定點(diǎn)P的位置，使得以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似． 8說(shuō)明：兩個(gè)三角形相似，必須注意其頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．然后再確定頂點(diǎn)P所在的位置．本題有多個(gè)位置，應(yīng)注意計(jì)算，嚴(yán)防漏解．例11．如圖，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，CF∥BA，BF交AD于P點(diǎn)，交AC于E點(diǎn)。 求證：BP2=PEPF。 11分析：因?yàn)锽P、PE、PF三條線段共線，找不到兩個(gè)三角形，所以必須考慮等線段代換等其他方法，因?yàn)锳B=AC，D是BC中點(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)知AD是BC的垂直平分線，如果我們連結(jié)PC，由線段垂直平分線的性質(zhì)知PB=PC，只需證明△PEC∽△PCF，問(wèn)題就能解決了。 例12．如圖，已知：在△ABC中，∠BAC=900，AD⊥BC，E是AC的中點(diǎn)，ED交AB的延長(zhǎng)線于F。 求證： 。 12分 析：比例式左邊AB，AC在△ABC中，右邊DF、AF在△ADF中，這兩個(gè)三角形不相似，因此本題需經(jīng)過(guò)中間比進(jìn)行代換。通過(guò)證明兩套三角形分別相似證得結(jié)論。 八、確定證明的切入點(diǎn)。幾何證明題的證明方法主要有三個(gè)方面。第一，從“已知”入手，通過(guò)推理論證，得出“求證”；第二，從“求證”入手，通過(guò)分析，不斷尋求“證據(jù)”的支撐，一直追溯回到“已知”；第三，從“已知”及“求證”兩方面入手，通過(guò)分析找到中間“橋梁”，使之成為清晰的思維過(guò)程。九、相似三角形中的輔助線在添加輔助線時(shí)，所添加的輔助線往往能夠構(gòu)造出一組或多組相似三角形，或得到成比例的線段或得出等角，等邊，從而為證明三角形相似或進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算找到等量關(guān)系。主要的輔助線有以下幾種：一、作平行線例1. 如圖，的AB邊和AC邊上各取一點(diǎn)D和E，且使AD＝AE，DE延長(zhǎng)線與BC延長(zhǎng)線相交于F，求證： 例2. 如圖，△ABC中，ABAC，在AB、AC上分別截取BD=CE，DE，BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，證明：ABDF=ACEF。 例如圖4—5，B為AC的中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，則AF：AE=___________.例如圖47，已知平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn)，E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的長(zhǎng)．例△ABC中，在AC上截取AD，在CB延長(zhǎng)線上截取BE，使AD=BE，求證：DFAC=BCFE例6：如圖△ABC中，AD為中線，CF為任一直線，CF交AD于E，交AB于F，求證：AE：ED=2AF：FB。二、作延長(zhǎng)線例7. 如圖，RtABC中，CD為斜邊AB上的高，E為CD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交BC于F，F(xiàn)GAB于G，求證：FG=CFBF
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