相似三角形證明技巧-專題(編輯修改稿)
2025-04-21 06:32 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 形ABCD中，E是CD的中點，BE⊥AC交AC于F，過F作FG∥AB交AE于G．求證：AG 2＝AFFC 4說明：證明線段的等積式，可先轉(zhuǎn)化為比例式，再用等線段替換法，然后利用“三點定形法”確定要證明的兩個三角形相似．、例5 如圖在△ABC中，D是BC邊的中點，且AD＝AC，DE⊥BC，交AB于點E，EC交AD于點F．(1)求證：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的長．5說明：要證明兩個三角形相似可由平行線推出或相似三角形的判定定理得兩個三角形相似．再由相似三角形的面積比等于相似比的平方及比例的基本性質(zhì)得到線段的長．例6 如圖10過△ABC的頂點C任作一直線與邊AB及中線AD分別交于點F和E．過點D作DM∥FC交AB于點M．(1)若S△AEF：S四邊形MDEF＝2：3，求AE：ED； (2)求證：AEFB＝2AFED 6說明：由平行線推出兩個三角形相似，再由相似三角形的面積比等于相似比的平方及比例的基本性質(zhì)得到兩線段的比．注意平截比定理的應(yīng)用．例7 己知如圖11在正方形ABCD的邊長為1，P是CD邊的中點，Q在線段BC上，當(dāng)BQ為何值時，△ADP與△QCP相似？ 7說明：兩個三角形相似，必須注意其頂點的對應(yīng)關(guān)系．然后再確定頂點P所在的位置．本題是開放性題型，有多個位置，應(yīng)注意計算，嚴(yán)防漏解．例8 己知如圖12在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝900，AB＝7，AD＝2，BC＝3．試在邊AB上確定點P的位置，使得以P、A、D為頂點的三角形與以P、B、C為頂點的三角形相似． 8說明：兩個三角形相似，必須注意其頂點的對應(yīng)關(guān)系．然后再確定頂點P所在的位置．本題有多個位置，應(yīng)注意計算，嚴(yán)防漏解．例11．如圖，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，CF∥BA，BF交AD于P點，交AC于E點。 求證：BP2=PEPF。 11分析：因為BP、PE、PF三條線段共線，找不到兩個三角形，所以必須考慮等線段代換等其他方法，因為AB=AC，D是BC中點，由等腰三角形的性質(zhì)知AD是BC的垂直平分線，如果我們連結(jié)PC，由線段垂直平分線的性質(zhì)知PB=PC，只需證明△PEC∽△PCF，問題就能解決了。 例12．如圖，已知：在△ABC中，∠BAC=900，AD⊥BC，E是AC的中點，ED交AB的延長線于F。 求證： 。 12分 析：比例式左邊AB，AC在△ABC中，右邊DF、AF在△ADF中，這兩個三角形不相似，因此本題需經(jīng)過中間比進行代換。通過證明兩套三角形分別相似證得結(jié)論。 八、確定證明的切入點。幾何證明題的證明方法主要有三個方面。第一，從“已知”入手，通過推理論證，得出“求證”；第二，從“求證”入手，通過分析，不斷尋求“證據(jù)”的支撐，一直追溯回到“已知”；第三，從“已知”及“求證”兩方面入手，通過分析找到中間“橋梁”，使之成為清晰的思維過程。九、相似三角形中的輔助線在添加輔助線時，所添加的輔助線往往能夠構(gòu)造出一組或多組相似三角形，或得到成比例的線段或得出等角，等邊，從而為證明三角形相似或進行相關(guān)的計算找到等量關(guān)系。主要的輔助線有以下幾種：一、作平行線例1. 如圖，的AB邊和AC邊上各取一點D和E，且使AD＝AE，DE延長線與BC延長線相交于F，求證： 例2. 如圖，△ABC中，ABAC，在AB、AC上分別截取BD=CE，DE，BC的延長線相交于點F，證明：ABDF=ACEF。 例如圖4—5，B為AC的中點，E為BD的中點，則AF：AE=___________.例如圖47，已知平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于O點，E為AB延長線上一點，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的長．例△ABC中，在AC上截取AD，在CB延長線上截取BE，使AD=BE，求證：DFAC=BCFE例6：如圖△ABC中，AD為中線，CF為任一直線，CF交AD于E，交AB于F，求證：AE：ED=2AF：FB。二、作延長線例7. 如圖，RtABC中，CD為斜邊AB上的高，E為CD的中點，AE的延長線交BC于F，F(xiàn)GAB于G，求證：FG=CFBF
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