極值點偏移問題的處理策略與探究(編輯修改稿)
2025-04-21 04:36 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 媒介，換元后構(gòu)造新函數(shù)： 不妨設(shè)，∵，∴，∴，欲證明，即證.∵，∴即證，∴原命題等價于證明，即證：，令，構(gòu)造，此問題等價轉(zhuǎn)化成為例2中思路二的解答，下略.法三：直接換元構(gòu)造新函數(shù)：設(shè)，則，反解出：，故，轉(zhuǎn)化成法二，下同，略.，其圖像與軸交于兩點，：.【解析】由，易知：的取值范圍為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.法一：利用通法構(gòu)造新函數(shù)，略；法二：將舊變元轉(zhuǎn)換成新變元：∵兩式相減得：，記，則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，故,而，所以，又∵是上的遞增函數(shù)，且，∴.容易想到，但卻是錯解的過程：欲證：，即要證：，亦要證，也即證：，很自然會想到：對兩式相乘得：，即證：.考慮用基本不等式，也即只要證：.，故此法錯誤.【迷惑】此題為什么兩式相減能奏效，而變式相乘卻失??？兩式相減的思想基礎(chǔ)是什么？其他題是否也可以效仿這兩式相減的思路? 【解決】此題及很多類似的問題，都有著深刻的高等數(shù)學(xué)背景.拉格朗日中值定理：若函數(shù)滿足如下條件：（1） 函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)；（2） 函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在一點，使得.當(dāng)時，即得到羅爾中值定理.上述問題即對應(yīng)于羅爾中值定理，設(shè)函數(shù)圖像與軸交于兩點，因此，∴，……由于，顯然與，與已知不是充要關(guān)系，轉(zhuǎn)化的過程中范圍發(fā)生了改變.例5.（11年，遼寧理）已知函數(shù)（I）討論的單調(diào)性；（II）設(shè)，證明：當(dāng)時，；（III）若函數(shù)的圖像與軸交于兩點，線段中點的橫坐標為，證明：.【解析】（I）易得：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在
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