有理數(shù)和運(yùn)算培優(yōu)專題(編輯修改稿)
2025-04-21 04:02 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 =4；第3次從點(diǎn)A2向左移動(dòng)9個(gè)單位長度至點(diǎn)A3，則A3表示的數(shù)為4﹣9=﹣5；第4次從點(diǎn)A3向右移動(dòng)12個(gè)單位長度至點(diǎn)A4，則A4表示的數(shù)為﹣5+12=7；第5次從點(diǎn)A4向左移動(dòng)15個(gè)單位長度至點(diǎn)A5，則A5表示的數(shù)為7﹣15=﹣8；…則A7表示的數(shù)為﹣8﹣3=﹣11，A9表示的數(shù)為﹣11﹣3=﹣14，A11表示的數(shù)為﹣14﹣3=﹣17，A13表示的數(shù)為﹣17﹣3=﹣20，A6表示的數(shù)為7+3=10，A8表示的數(shù)為10+3=13，A10表示的數(shù)為13+3=16，A12表示的數(shù)為16+3=19，所以點(diǎn)An與原點(diǎn)的距離不小于20，那么n的最小值是13．故答案為7，13．【點(diǎn)評】本題考查了規(guī)律型問題，認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，找出點(diǎn)表示的數(shù)的變化規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵． 三．解答題（共12小題）7．在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，下面是運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決問題的過程，請仔細(xì)閱讀，并解答問題．【提出問題】三個(gè)有理數(shù)a，b，c滿足abc＞0，求的值．【解決問題】解：由題意，得a，b，c三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)．①a，b，c都是正數(shù)，即a＞0，b＞0，c＞0時(shí)，則；②當(dāng)a，b，c中有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，不妨設(shè)a＞0，b＜0，c＜0，則．綜上所述，值為3或﹣1．【探究】請根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：（1）三個(gè)有理數(shù)a，b，c滿足abc＜0，求的值；（2）若a，b，c為三個(gè)不為0的有理數(shù)，且，求的值．【分析】（1）仿照題目給出的思路和方法，解決（1）即可；（2）根據(jù)已知等式，利用絕對值的代數(shù)意義判斷出a，b，c中負(fù)數(shù)有2個(gè)，正數(shù)有1個(gè)，判斷出abc的正負(fù)，原式利用絕對值的代數(shù)意義化簡計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵abc＜0，∴a，b，c都是負(fù)數(shù)或其中一個(gè)為負(fù)數(shù)，另兩個(gè)為正數(shù)，①當(dāng)a，b，c都是負(fù)數(shù)，即a＜0，b＜0，c＜0時(shí)，則：=++=﹣1﹣1﹣1=﹣3；②a，b，c有一個(gè)為負(fù)數(shù)，另兩個(gè)為正數(shù)時(shí)，設(shè)a＜0，b＞0，c＞0，則=++=﹣1+1+1=1．（2）∵a，b，c為三個(gè)不為0的有理數(shù)，且，∴a，b，c中負(fù)數(shù)有2個(gè)，正數(shù)有1個(gè)，∴abc＞0，∴==1．【點(diǎn)評】本題主要考查了絕對值的意義、分類討論的思想方法．能不重不漏的分類，會(huì)確定字母的范圍和字母的值是關(guān)鍵． 8．如圖，在單位長度為1的數(shù)軸上有，A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)A、C表示的有理數(shù)互為相反數(shù)（1）請?jiān)跀?shù)軸上標(biāo)出原點(diǎn)O，并在點(diǎn)A、B、C、D上方標(biāo)出它們所表示的有理數(shù)；（2）A、C兩點(diǎn)間的距離AC= 6 ，B、D兩點(diǎn)間距離BD= 5?。唬?）通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離可以用這兩個(gè)點(diǎn)所表示的有理數(shù)的絕對值來表示，如果數(shù)軸上點(diǎn)M表示的有理數(shù)是x，點(diǎn)N表示的有理數(shù)是y，那么M、N兩地間的距離用含有絕對值的式子可以表示為 |x﹣y|??；（4）設(shè)點(diǎn)P在數(shù)軸表示的有理數(shù)是x，借助數(shù)軸解答下列問題：①式子|x﹣4|表示點(diǎn)P與有理數(shù) 4 所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離：|x+1|表示點(diǎn)P與有理數(shù) ﹣1 所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；②當(dāng)x是哪個(gè)有理數(shù)或哪個(gè)有理數(shù)范圍內(nèi)時(shí)，式子|x﹣4|+|x+1|的值最小？最小值是多少？ 5③若式子|x﹣4|+|x+1|的值是6，那么點(diǎn)P所表示的有理數(shù)是多少？ ﹣?。痉治觥浚?）根據(jù)圖示，點(diǎn)A、C之間的距離是6，據(jù)此求出點(diǎn)A、C表示的數(shù)是多少，即可求出點(diǎn)B和D表示的數(shù)是多少，并畫數(shù)軸即可；（2）直接由兩點(diǎn)的坐標(biāo)之差可得結(jié)論；（3）在數(shù)軸上M、N兩點(diǎn)之間的距離MN=||x﹣y|，依此即可求解；（4）①根據(jù)絕對值的幾何意義，進(jìn)行解答；②根據(jù)數(shù)軸上|x+3|+|x﹣4|的幾何意義，進(jìn)行解答．③分情況討論計(jì)算即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A、C表示的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，點(diǎn)A、C之間的距離是6，∴點(diǎn)C表示的數(shù)是3，A表示的數(shù)是﹣3，∴點(diǎn)B表示的數(shù)是﹣1，點(diǎn)D表示的數(shù)是4；如圖所示：（2）由數(shù)軸得：A、C兩點(diǎn)間的距離AC=6，B、D兩點(diǎn)間距離BD=4﹣（﹣1）=5；故答案為：6，5；（3）MN=|x﹣y|故答案為：|x﹣y|；（4）①式子|x﹣4|表示點(diǎn)P與有理數(shù)4所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離：|x+1|表示點(diǎn)P與有理數(shù)﹣1所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；②在數(shù)軸上|x+3|+|x﹣4|的幾何意義是：表示有理數(shù)x的點(diǎn)到﹣3及到4的距離之和，所以當(dāng)﹣3≤x≤4時(shí)，它
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