平行四邊形的性質(zhì)及判定典型例題(編輯修改稿)
2025-04-21 01:18 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 四邊形ABCD是平行四邊形∴DE∥FB，∠ABC=∠ADC(平行四邊形的對邊也平行對角相等)∴∠1=∠3(兩直線平行內(nèi)錯角相等)∴∠1=∠2∴∠2=∠3∴DF∥BE(同位角相等兩條直線平行)∴四邊形BEDF為平行四邊形(平行四邊形定義)∴BF=DE．(平行四邊形的對邊相等)說明： 此例也可通過△ADF≌△CBE來證明，但不如上面的方法簡捷． 例9 如圖，CD的Rt△ABC斜邊AB上的高，AE平分∠BAC交CD于E，EF∥AB，交BC于點F，求證CE=BF．分析 作EG∥BC，交AB于G，易得EG=BF．再由基本圖，可得EG=EC，從而得出結(jié)論．證明：過E點作EG∥BC交AB于G點．∴∠EGA=∠B∵EF∥AB∴EG=BF∵CD為Rt△ABC斜邊AB上的高∴∠BAC＋∠B=90176。．∠BAC＋∠ACD＝90176?！唷螧=∠ACD∴∠ACD=∠EGA∵AE平分∠BAC∴∠1=∠2又AE=AE∴△AGE≌△ACE(AAS)∴CE=EG∴CE=BF．說明：(1)在上述證法中，“平移”起著把條件集中的作用．(2)本題也可以設法平移AE．(連F點作FG∥AE，交AB于G) 例10 如圖，已知ABCD的周長為32cm，AB∶BC=5∶3，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，∠EAF=2∠C，求AE和AF的長．分析：從化簡條件開始?、儆葾BCD的周長及兩鄰邊的比，不難得到平行四邊形的邊長．②∠EAF=2∠C告訴我們什么？這樣，立即可以看出△ADF、△AEB都是有一個銳角為30176。的直角三角形．再由勾股定理求出解：ABCD的周長為32cm即AB+BC+CD+DA=32∵AB=CD BC=DA(平行四邊形的對邊相等)又AB∶BC=5∶3∠EAF+∠AFC+∠C+∠CEA=360176。(四邊形內(nèi)角和等于360176。)∵AE⊥BC ∠AEC=90176。AF⊥DC ∠AFC=90176。∴∠EAF+∠C=180176?！螮AF=2∠C∴∠C=60176。∵AB∥CD(平行四邊形的對邊平行)∴∠ABE=∠C=60176。(兩直線平行同位角相等)同理∠ADF=60176。說明： 化簡條件，化簡結(jié)論，總之，題目中哪一部分最復雜就從化簡那一部分開始，這是一種常用的解題策略，我們把這種解題策略稱為：從最復雜的地方開始．它雖簡單，卻很有效． 2．平行四邊形的判定 例1 填空題(1)如圖1，四邊形ABCD與四邊形BEFC都是平行四邊形，則四邊形AEFD是__，理由是__(2) 如圖2，D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，DE=EF，AE=EC，DE∥BC則四邊形ADCF是__，理由是__，四邊形BCFD是__，理由是___分析： 判定一個四邊形是平行四邊形的方法較多，要從已知條件出發(fā)，具體問題具體分析：(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD平行且等于BC，BC平行且等于EF，從而得AD平行且等于EF，由判定定理4可得．(2)由AE=EC，DE=EF，由判定定理3可得四邊形ADCF是平行四邊形，從而得AD∥CF即BD∥CF，再由條件，可得四邊形BCFD是平行四邊形．解： (1)平行四邊形，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形(2)平行四邊形，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，平行四邊形，兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．說明： 平行四邊形的定
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