函數(shù)圖像的切線問題(編輯修改稿)
2025-04-20 12:16 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 用求出切線方程 所以切線方程為：即，與兩坐標軸的交點坐標為 ，設點處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是( )． A. B. C. D. 思路：傾斜角的正切值即為切線的斜率，進而與導數(shù)聯(lián)系起來.，對于曲線上任意一點，斜率的范圍即為導函數(shù)的值域：，：B，若過點存在3條直線與曲線相切，求的取值范圍思路：由于并不知道3條切線中是否存在以為切點的切線，所以考慮先設切點，切線斜率為，則滿足 ，所以切線方程為，即，代入化簡可得：，所以若存在3條切線，則等價于方程有三個解，即與有三個不同交點，數(shù)形結合即可解決解：設切點坐標，切線斜率為，則有： 切線方程為：因為切線過，所以將代入直線方程可得： 所以問題等價于方程，令即直線與有三個不同交點令解得 所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 所以若有三個交點，則 所以當時，過點存在3條直線與曲線相切例13. 已知曲線C:x2=y，P為曲線C上橫坐標為的點，過P作斜率為k(k≠0)的直線交C于另一點Q，交x軸于M，過點Q且與PQ垂直的直線與C交于另一點N，問是否存在實數(shù)k，使得直線MN與曲線C相切？若存在，求出K的值，若不存在，說明理由.思路：本題描述的過程較多，則可求出，從而與拋物線方程聯(lián)立可解得，以及點坐標，從而可寫出的方程，再根據(jù)相切求，考慮拋物線本身也可視為函數(shù)，從而可以為入手點先求出切線，再利用切線過代入點坐標求，計算量會相對小些.解：由在拋物線上，且的橫坐標為1可解得 設化簡可得： 消去： 設直線即 聯(lián)立方程： 由可得： 切線的斜率 代入得：, 小煉有話說：（1）如果曲線的方程可以視為一個函數(shù)（比如開口向上或向下的拋物線，橢圓雙曲線的一部分），則處理切線問題時可以考慮使用導數(shù)的方法，在計算量上有時要比聯(lián)立方程計算簡便（2）本題在求點坐
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