專題一阿基米德三角形的性質(zhì)(編輯修改稿)
2025-04-20 05:53 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 已知拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，A、B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且＝λ（λ＞0）．過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為Ｍ．（Ⅰ）證明為定值；（Ⅱ）設(shè)△ABM的面積為S，寫出S＝f(λ)的表達(dá)式，并求S的最小值．解：(Ⅰ)由已知條件，得F(0，1)，λ＞0．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由＝λ，即得 (－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)， 將①式兩邊平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得 y1＝λ2y2 ③解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，拋物線方程為y＝x2，求導(dǎo)得y′＝x．所以過(guò)拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．解出兩條切線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)＝(，－1)． ……4分所以＝(，－2)(x2－x1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0所以為定值，其值為0． ……7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，F(xiàn)M⊥AB，因而S＝|AB||FM|．|FM|＝＝＝ ＝＝＋．因?yàn)閨AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準(zhǔn)線y＝－1的距離，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝y(tǒng)1＋y2＋2
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