【文章內容簡介】 則直線BC與直線x = 1的交點D(1，2)，27．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與坐標軸交于點A（1，0）和點B（0，5）．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）已知該函數(shù)圖象的對稱軸上存在一點P，使得△ABP的周長最?。埱蟪鳇cP的坐標．(1) y = x2 – 4x 5(2)BC：y = x 5P(2，3)28．已知等腰三角形ABC的兩個頂點分別是A(0，1)、B(0，3)，第三個頂點C在x軸的正半軸上．關于y軸對稱的拋物線y＝ax2＋bx＋c經過A、D(3，－2)、P三點，且點P關于直線AC的對稱點在x軸上．(1)求直線BC的解析式；(2)求拋物線y＝ax2＋bx＋c的解析式及點P的坐標；(3)設M是y軸上的一個動點，求PM＋CM的取值范圍．(1)以點A為圓心，AB為半徑作圓，交x軸的正半軸于點C，在直角△ACO中 OA = 1，AC = 2根據(jù)勾股定理，得 OC = 故C(，0)設直線BC的解析式為y = kx+b，則3 = b0 = +b解得 k = ，b = 3(2)因為拋物線關于y軸對稱，所以設拋物線的解析式為y = ax2+c，則1 = c2 = 9a+c解得 a = ， c = 1在直角△ACO中 AC= 2 ，OA = 1，則 ∠ACO = 30176。在直角△BCO中 OC = ，OB = 3，則∠BCO = 60176。所以CA是∠BCO的角平分線即直線BC和x軸關于直線AC對稱因為點P關于直線AC的對稱點在ｘ軸上故點P應在直線BC和拋物線上，則有方程組y = + 3y = + 1解得 x1 = y1= 0 x2 =2 y2 = 3所以 P(，0)，或(2，3) (3)當點M在y軸上運動時，PM+CM沒有最大值，只有最小值，所以求PM+CM的取值范圍，就是要求PM+CM的最小值當點P與點C重合時，即Ｐ（，０）點M在原點，PM+CM的值最小，PM+CM = 2所以 PM+CM ≥ 2當點P(2，3)時作點C關于y 軸的對稱點E，過點P作x軸的垂線，垂足為F在直角△EFP中，EF = 3，PF = 3根據(jù)勾股定理，得EP = 6所以PM+CM的最小值是6，則 PM+CM ≥ 629．如圖，在矩形OABC中，已知A、C兩點的坐標分別為A(4，0)、C(0，2)，D為OA的中點．設點P是∠AOC平分線上的一個動點（不與點O重合）．（1）試證明：無論點P運動到何處，PC總與PD相等；（2）當點P運動到與點B的距離最小時，試確定過O、P、D三點的拋物線的解析式；（3）設點E是（2）中所確定拋物線的頂點，當點P運動到何處時，△PDE的周長最小？求出此時點P的坐標和△PDE的周長；（4）設點N是矩形OABC的對稱中心，是否存在點P，使∠CPN = 90176。？若存在，請直接寫出點的坐標． (1)△OCP≌△ODP(2)過點B作∠AOC的平分線的垂線于點P，點P即為所求過點P作PM⊥BC于點M，則 PM = = 1所以點P的縱坐標為3，又因為點P在∠AOC的平分線上，則P(3，3)因為拋物線過原點，故設 y = ax2 + bx又拋物線經過點P(3，3)，D(2，0)所以解得 a = 1，b = 2則拋物線的解析式為 y = x2 – 2x(3)點D關于∠AOC的平分線的對稱點是點C，連接CE交OF于點P，則△PDE的周長最小拋物線的解析式為 y = x2 – 2x的頂點E(1，1)，C(0，2)設直線CE的解析式為y = kx+b，則解得 k = 3，b = 2直線CE的解析式為y = 3x+2點P的坐標滿足解得 x = ,y = 所以P(，)△PDE的周長即是CE + DE = + (4)存在這樣的點P，使∠CPN = 90176。，坐標是(，)或(2，2)30．已知：拋物線y = ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為x = 1，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中A(3，0)、C(0，2)（1）求這條拋物線的函數(shù)表達式．（2）已知在對稱軸上存在一點P，使得△PBC的周長最小．請求出點P的坐標．（3）若點D是線段OC上的一個動點（不與點O、點C重合）．過點D作DE∥PC交x軸于點E，連接PD、PE．設CD的長為m，△PDE的面積為S．求S與m之間的函數(shù)關系式．試說明S是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．(1)由題意得 解得 a =，b = ，c = 2∴拋物線的解析式為 y = (2)點B關于對稱軸的對稱點是點A，連接AC交對稱軸于點P，則△PBC的周長最小設直線AC的解析式為 y = kx +b，因為A(3，0)，C(0，2)，則解得 k = ，b = 2所以直線AC的解析式為 y = x – 2把x = 1代入得y = ，所以P(1，)(3)S存在最大值∵DE∥PC，∴，即OE = 3 ，AE = OA–OE = 方法一，連接OPS = S四邊形PDOE – S△OED = S△POE + S△POD – S△OED = + = = 所以，當m = 1時，S最大 = 方法二，S = S△OAC – S△AEP – S△OED – S△PCD = = (十一)建橋選址類31．如圖，村莊A、B位于一條小河的兩側，若河岸a、b彼此平行，現(xiàn)在要建設一座與河岸垂直的橋CD，問橋址應如何選擇，才能使A村到B村的路程最近？ 作法：設a、b的距離為r。 ①把點B豎直向上平移r個單位得到點B39。； ②連接AB39。，交a于C；③過C作CDb于D； ④連接AC、BD。 證明：∵BB39?！蜟D且BB39。＝CD， ∴四邊形BB39。CD是平行四邊形，∴CB39。＝BD ∴AC＋CD＋DB＝AC＋CB39。＋B39。B＝AB39。＋B39。B 在a上任取一點C39。，作C39。D39。，連接AC39。、D39。B，C39。B39。 同理可得AC39。＋C39。D39。＋D39。B＝AC39。＋C39。B39。＋B39。B 而AC39。＋C39。B39。A B39?！郃C＋CD＋DB最短。本題是研究AC＋CD＋DB最短時的C、D的取法，而ＣＤ是定值，所以問題集中在研究AC＋DB最小上。但AC、DB不能銜接，可將BD平移B1C處，則AC＋DB可轉化為AC＋CB39。，要使AC＋CB39。最短，顯然，A、C、B39。三點要在同一條直線上。32．如圖，A、B是直線a同側的兩定點，定長線段PQ在a上平行移動，問PQ移動到什么位置時，AP+PQ+QB的長最短？作法：(假設P39。Q39。就是在直線L上移動的定長線段)1)過點B作直線L的平行線,并在這條平行線上截取線段BB39。,使它等于定長P39。Q39。；2)作出點A關于直線L的對稱點A39。，連接A39。B39。，交直線L于P；3)在直線L上截取線段PQ=P39。Q..則此時AP+PQ+BQ最小.略證：由作法可知PQ=P39。Q39。=BB39。，四邊形PQBB39。與P39。Q39。BB39。均為平行四邊形.下面只要說明AP+BQAP39。+BQ39。 即可.點A與A39。關于直線L對稱，則AP=A39。P,AP39。=A39。P39。.故:AP+BQ=A39。P+B39。P=A39。B39。 AP39。+BQ39。=A39。P39。+B39。P39。.顯然,A39。B39。A39。P39。+B39。P39。；(三角形三邊關系)即AP+BQAP39。+BQ39。.33．如圖，護城河在CC’處直角拐彎，寬度保持為4米，從A處往B處，經過兩座橋：DD’，EE’，設護城河是東西——南北方向的，A，B在東西方向上相距64米，南北方向上相距84米，如何設計兩座橋梁DD’，EE’的位置，使由A地經過兩座橋梁后到B地的路程最短？最短路程是多少？如圖，作BB’⊥a，AA’ ⊥b，且BB’ = 4，AA’ = 4，連接A’B’，交河岸于點E’，D’，分別過點E’、D’架設橋梁DD’，EE’，則ADD’E’EB是最短路線。因為四邊形ADD’A’、四邊形BEE’B’都是平行四邊形，所以BE = B’E’，AD = A’D’，因為A’，B’之間線段最短，所以ADD’E’EB是最短路線，又BF = 64，AF = 84，所以B’F = 60，A’F = 80，在直角三角形A’B’F中，由勾股定理得，A’B’ = 100，所以最短路線為108米34．如圖，已知點A(4，8)和點B(2，n)在拋物線y = ax2上．(1)　求a的值及點B關于x