三重積分、重積分習題(編輯修改稿)
2025-04-20 05:45 本頁面
【文章內容簡介】 ，由穿線法可知r故0r1.于是===2．小結 當積分區(qū)域為由球面與錐角所圍成的球錐體時．若錐題的頂點為原點，且 Z軸正向穿過積分區(qū)域，則有0，且r的下界為零，上界由球面的方程所給出．3．計算其中是由xoy平面上的曲線=2x繞x軸旋轉而成的曲面與平面x=5所圍成的閉區(qū)域分析：投影區(qū)域為圓域，再由于積分區(qū)域與球體無關，故采用柱面坐標，這時要注意把y,z用極坐標代換．還應注意積分區(qū)域關于平面y=0,z=0皆對稱，且被積函數(shù)關于y,z皆為偶函數(shù)．因此還應利用積分區(qū)域關于坐標平面的對稱性與被積函數(shù)關于某相應變量的奇偶性先進行化簡．解 曲線=2x或x=繞x軸旋轉得的旋轉拋物面方程為x=(),故由拋物面x=()與z=0所圍成．由于被積函數(shù)分別是y和z的偶函數(shù)，而積分區(qū)域關于平面y=0及z=0都對稱，因此=4，其中為在第一卦限內的部分由知，在yoz 平面上的投影為．在yoz平面上的投影為yoz平面上第一象限內的１／４個圓，因此有：于是 44==2=.小結 (1) 當被積函數(shù)關于某坐標平面對稱，同時被積函數(shù)是相應變量的奇或偶函數(shù)時，應首先將所給積分化簡，其原則為關于平面Z=0對稱，f(x,y,z)關于z是奇函數(shù)時，積分為零。f(x,y,z)關于z是偶函數(shù)時，所求積分為2，其中為被z=0所分的上半個子區(qū)域，其余類同．(2) 對柱面坐標，清楚這是把積分區(qū)域投影到哪個平面時就做的相應的柱面坐標變換，如本題，由于我們把投影到y(tǒng)oz平面,就有y=cos,z=sin,x=x．類似地，對球面坐標也應做相應理解，即穿過的坐標軸如果不是
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