三重積分、重積分習(xí)題-wenkub
2023-04-08 05:45:17 本頁(yè)面
【正文】 示為z= ，z=表示為z=．再由投影區(qū)域D為x+y1．故01，0θ2．于是可表示為：將所給三重積分中的體積元素用=去替換，有I===.(3) 球面坐標(biāo)下用球面坐標(biāo)代換兩曲面的方程，得曲面z=x+y變?yōu)?；曲面z=變?yōu)?．由在xoy平面上的投影為x+y1知02，下邊找的變化范圍．正z軸在內(nèi)，即內(nèi)有點(diǎn)P，使與夾角為零，即的下界為零．又曲面z=x+y與xoy平面相切，故的上界為，于是0再找的變化范圍．原點(diǎn)在的表面上，故取到最小值為零．為找的上界，從原點(diǎn)出發(fā)作射線穿過(guò)，由于的表面由兩張曲面所組成，因而的上界隨相應(yīng)的的不同而不同．為此在兩曲面的交線上取一點(diǎn)A(0，1，1)，故A所對(duì)應(yīng)的．當(dāng)時(shí)，r的上界由曲面r=所給，故這時(shí)r．即r的變化范圍為0因此I=．由的特點(diǎn)(在xoy平面上的投影為圓域，而本身不是球或球錐)，故采用柱面坐標(biāo)計(jì)算比較簡(jiǎn)單，這時(shí)I===2=．小結(jié) (1) 計(jì)算三重積分時(shí)，欲用何種坐標(biāo)，就要首先把積分區(qū)域的表面方程化成用該坐標(biāo)表示，同時(shí)把被積函數(shù)中的變量與體積元素替換為該坐標(biāo)下的形式． (2) 不要認(rèn)為當(dāng)積分區(qū)域?yàn)榍蝮w的一部分就應(yīng)采用球面坐標(biāo)．球面坐標(biāo)所適用的積分區(qū)域一般為球，兩球面所圍的區(qū)域，或這兩種區(qū)域被圓錐所截得的部分．本題是由旋轉(zhuǎn)拋物面與球面所圍成的區(qū)域，一般是不宜用球面坐標(biāo)的．（3）還應(yīng)注意面積元在不同坐標(biāo)下的不同形式；并且在直角坐標(biāo)系中，更應(yīng)該強(qiáng)調(diào)學(xué)會(huì)使用對(duì)稱性、奇偶性、切片法、換元法、投影面方程的求法等；2．計(jì)算三重積分，其中是由曲面x+y+z=1及z=所圍成的區(qū)域．
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