【文章內(nèi)容簡介】 ?????????1)1(41)1(1)(22 ???????ssssX? ? 121)(3l i m34?????sXscs 32)(l i m03???ssXcs? ? 21)(1lim 211 ???? ?? sXsc s? ?? ? 43)(1l i m 212 ???? ?? sXsdsdc stt etetx 312132)23(21)( ?? ?????? 的原函數(shù) x(t)。 解 ： 例 212 求 )3()1(2)(2 ????sssssX31)1()(43221??????? scscscscsX 用微分方程求解，需確定積分常數(shù)，階次高時(shí)麻煩；當(dāng)參數(shù)或結(jié)構(gòu)變化時(shí)，需重新列方程求解，不利于分析系統(tǒng)參數(shù)變化對性能的影響。 用拉氏變換求解微分方程的一般步驟： 1)對微分方程兩邊進(jìn)行拉氏變換。 2)求解代數(shù)方程，得到微分方程在 s 域的解。 3)求 s 域解的拉氏反變換，即得微分方程的解。 . 線性常系數(shù)微分方程的求解（對照課本 26頁） 微分方程式 r(t) c(t) 求解代數(shù)方程 時(shí)域解 c(t) L s的代數(shù)方程 R(s) C(s) 求解微分方程式 s域解 C(s) L1 例 213 求解微分方程： 解 ： 兩邊取拉氏變換 s2Y(s) ? sy(0) ? y?(0) + 3sY(s) ? 3y(0) +2Y(s)=5/s 22/3152/5 )2)(1(5)23(52332/5)(2222???????????????????????ssssssssssssssssssY)(15)(2)(3)(22ttydt tdydt tdy ????y(t) = 5/2 ? 5 e?t + 3/2 e?2t 初始條件： y(0)= ?1, y?(0) =2 例 214 圖示的 RC電路，當(dāng)開關(guān) K突然接通后，試求出電容電壓 uc(t)的變化規(guī)律。 解： 設(shè)輸入量為 ur (t)，輸出量為 uc (t)。由 KVL寫出電路方程 rcc uudtduRC ??電容初始電壓為 uc(0)， 對方程兩端取拉氏變換 R C ur uc ? ? tRCctRCc eueutu 110 0)1()( ?? ???? ?RCsuRCssusU cc 110111)( 0???????????????當(dāng)輸入為階躍電壓 ur (t) = u0 1(t)時(shí)， 得 )0(1)(11)( crc uR C sRCsUR C ssU ???? 式中右端第一項(xiàng)是由輸入電壓 ur (t)決定的分量，是當(dāng)電容初始狀態(tài) uc(0) =0 時(shí)的響應(yīng)，故稱 零狀態(tài)響應(yīng) ； 第二項(xiàng)是由電容初始電壓 uc(0)決定的分量，是當(dāng)輸入電壓 ur (t)=0時(shí)的響應(yīng)，故稱 零輸入響應(yīng) 。 )()()]0()([ sUsUussURC rccc ??? 用拉氏變換求解的優(yōu)點(diǎn)： 1）復(fù)雜的微分方程變換成簡單的代數(shù)方程 2）求得的解是完整的，初始條件已包含在拉氏變換中 ,不用另行確定積分常數(shù) 3）若所有的初值為 0，拉氏變換式可直接用 s 代替 , 得到。 當(dāng)然，階次高時(shí)，求拉氏反變換也不太容易， 幸運(yùn)的是 ，往往并不需要求出解，可用 圖解法 預(yù)測系統(tǒng)的性能，可用相關(guān)性質(zhì)得到解的特征，初值、終值等，滿足工程需要。 dtd 222dtds 代替 傳遞函數(shù)的定義和實(shí)際意義（對照課本 29頁） 微分方程是時(shí)域中的數(shù)學(xué)模型，傳遞函數(shù)是采用 L[ ]法求解微分方程時(shí)引申出來的復(fù)頻域中的數(shù)學(xué)模型，它不僅可以表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，而且可以用來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)變化時(shí)對系統(tǒng)性能的影響，是經(jīng)典控制理論中最重要的模型。 1 定義 在線性定常系統(tǒng)中，當(dāng)初始條件為零時(shí)，系統(tǒng)輸出拉氏變換與輸入拉氏變換的比，稱為傳遞函數(shù)，用 G(S)表示。 即 )()()(sRsCsG ?例 27中，若令 uc(0) = 0，則有 )(11)(11)( sUTssUR C ssU rrc ????RCTTssU sUsGrc ???? 11)()()(于是 可見，輸入與輸出之間的關(guān)系僅取決于電路的結(jié)構(gòu)形式及其參數(shù)（固有特性） ,與輸入的具體形式無關(guān)，無論輸入如何，系統(tǒng)都以相同的傳遞作用輸出信息或能量，因此稱之為 傳遞函數(shù) 。 傳遞函數(shù)是代數(shù)式，其傳遞作用還經(jīng)常用方框圖直觀的表示： G(s) Uc(s) Ur(s) Uc(s) = G(s) Ur(s) rbdtdrbdt rdbdt rdb mmmmmm????? ???11110 ?cadtdcadt cdadt cda nnnnnn???? ???11110 ?一般的，設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程式為 式中， r(t)是輸入量， c(t)是輸出量。 在零初始條件下，對上式兩端進(jìn)行拉氏變換得 (a0sn + a1sn?1 +? + an?1s + an )C(s)= (b0sm + b1sm?1 +? + am?1s + am )R(s) 按定義，其傳遞函數(shù)為 nnnnmmmmaasasabsbsbsbsRsCsG??????????????11101110)()()(?? G(s)是由微分方程 經(jīng)線性 拉氏變換得到，故等價(jià)，只是把時(shí)域變換到復(fù)頻域而已，但 它是一個(gè)函數(shù) ，便于計(jì)算和采用方框圖表示，廣泛應(yīng)用。 其分母多項(xiàng)式就是微分方程的特征多項(xiàng)式，決定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。從描述系統(tǒng)的完整性來說，它只能反應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)部分。 但在工程實(shí)際當(dāng)中： 1）都是零初始條件的，即系統(tǒng)在輸入作用前是相對靜止的，即輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在 t =0的值為零。 2）輸入在 t =0以后才作用于系統(tǒng)，即輸入及其各階導(dǎo)數(shù)在 t =0的值為零； 對于非 0初始條件時(shí)，可采用疊加原理。 傳遞函數(shù)的性質(zhì) (a)傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)模型，與系統(tǒng)的微分方程相對應(yīng)。 (b)傳遞函數(shù)是系統(tǒng)本身的一種屬性，與輸入量的大小和性質(zhì)無關(guān)。 (c)傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)，因?yàn)槔献儞Q是一種線性變換。 (d)傳遞函數(shù)描述的是一對確定的變量之間的傳遞關(guān)系，對中間變量不反應(yīng)。 (e)傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，因而它不能反映在非零初始條件下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況。（零狀態(tài)解） (f)傳遞函數(shù)一般為復(fù)變量 s 的有理分式，它的分母多項(xiàng)式是系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，且階次總是大于或等于分子多項(xiàng)式的階次，即 n ? m。并且所有的系數(shù)均為實(shí)數(shù)。 (g)傳遞函數(shù)與脈沖響應(yīng)一一對應(yīng)，是拉氏變換與反變換的關(guān)系。 系統(tǒng)辨識(shí) )()()]([)()()()()(1)]([)(1 sGtgsGLtcsGsGsRsCtLsR? ??????????2 G(s)的微觀結(jié)構(gòu) G(s)是關(guān)于 s的有理分式，可分解成多種形式： 1）零極點(diǎn)表達(dá)式 )) . . . (()) . . . ((. . .. . .)(1111101110nmgnnnnmmmmpspszszskasasasabsbsbsbsG??????????????????00abkg ? 可知：傳遞函數(shù)定，零、極點(diǎn)和 kg唯一確定，反之亦然。因此傳遞函數(shù)可用零極點(diǎn)和傳遞系數(shù) 等價(jià) 表示。 零極點(diǎn)既可以是實(shí)數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)，表示在復(fù)平面上，形成的圖稱傳遞函數(shù)的 零、極點(diǎn)分布圖 。反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。因此對系統(tǒng)的研究，可變成對系統(tǒng)傳函的零、極點(diǎn)的研究了，這就是 根軌跡法 (chaper4)。 傳遞系數(shù)， 根軌跡增益 2）時(shí)間常數(shù)表達(dá)式 靜態(tài)放大倍數(shù),0)()1) . . . (12)(1()1) . . . (12)(1(......)(0222212222111101110?? ??? ????????????????????????????tsKabsGsTsTsTsTssssKasasasabsbsbsbsGnmsjinnnnmmmm???????較容易分解成一些典型環(huán)節(jié)，第 5章會(huì)大量應(yīng)用 p1 p2 j1 ?1 j? ? 0 ?2 ?3 p3 z1 )22)(3(2)(2 ?????sssssG 例如，試畫出下面?zhèn)鬟f函數(shù)的零極點(diǎn)圖。 再次提出傳遞函數(shù)以下特點(diǎn)： (1) 通過拉氏變換，實(shí)數(shù)域復(fù)雜的微積分運(yùn)算 轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)運(yùn)算 ； (2)輸入典型信號(hào)時(shí)，其輸出與傳遞函數(shù)有一定 對應(yīng)關(guān)系 ，當(dāng)輸入是單位脈沖函數(shù)時(shí)，輸入的 象函數(shù)為 1，其輸出象函數(shù)與傳遞函數(shù)相同； （ 3） 令傳遞函數(shù)中的 s=jω，則系統(tǒng)可在頻率域 內(nèi) 分析 （詳見第五章）； （ 4） G（ s）的 零極點(diǎn)分布決定系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性 （第四章）。 26 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) 可看成是若干稱為典型環(huán)節(jié)的基本因子的乘積，一般認(rèn)為典型環(huán)節(jié)有 6種，這些典型環(huán)節(jié) ,對應(yīng)典型電路。這樣劃分對系統(tǒng)分析和研究帶來很大的方便。 分述如下： 自動(dòng)控制系統(tǒng)可以用傳遞函數(shù)來描述，任一復(fù)雜的傳遞函數(shù) G(s)，都可表示為： ????????????????????????????????????????121)12(11)1()1()12)(1()1()12)(1()()()(2222222211222212222111101110ssTsssTsKsTssTsTssssKaasasabsbsbsbsRsCsGjinnnnmmmm????????????? （ 杠桿 ， 齒輪系 ， 電位器 ， 變壓器 等） 運(yùn)動(dòng)方程式 c(t) = K? r(t) 傳遞函數(shù) G(s) = K 單位階躍響應(yīng) C(s) = G(s) R(s) = K/s c(t) = K?1(t) 可見，當(dāng)輸入量 r(t)=1(t)時(shí)， 輸出量 c(t)成比例變化。 r(t) 1 c(t) t 0 K 微分方程式： 式中， T是慣性環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)。慣性環(huán)節(jié)的傳遞 函數(shù)有一個(gè)負(fù)實(shí)極點(diǎn) p = ?1/T，無零點(diǎn)。 傳遞函數(shù)： 11)(?? TssG)()()( trtcdt tdcT ??01 ??? ? t ec ( t) TtTsssTssRTssC /111111)(11)(???????? j? ? 0 ?1/T 單位階躍響應(yīng) : 微分方程式： ssRTsCdrTtct )()()()( 110??? ? ??傳遞函數(shù)： TssG1)( ? 階躍響應(yīng)曲線是按指數(shù)上升的曲線。 01 ??? ? t ec ( t) Tt0 t c(t) T 2T 3T 4T 單位階躍響應(yīng)： tTtc 1)( ?sTs