[初中教育]競賽課件10：曲線運動的動力學解(編輯修改稿)
2025-04-18 00:10 本頁面
【文章內容簡介】 間，球殼中心的速率． 專題 10例 4 mg FN C O 球殼靜止時，不桌邊接觸的一點 O為其支點，球殼二力平衡 ! 輕推球殼，即給球殼一微擾，球殼的質心 C將以支點 O為軸，以球半徑 R為半徑在豎直面內從初速度為零開始做圓周運動，其間重力勢能減少，動能增加；當球殼質心做圓運動所需向心力僅由重力來提供時，球與桌支持點間無擠壓，即開始脫離桌子． 設球殼 “ 不再接觸桌子的瞬時 ” 球心速度為 v mg ??2c o s vm g mR? ?? ?1 c o s km g R E???球殼動力學方程 球殼機械能守恒 EC 質心對 O的轉動動能 212OE mv?球殼對質心 C的轉動動能 ? ? 2111 c o s 23m g R m v? ??? ? ?????22516vg R vgR???????? 611v gR? 例 5 2112 l i m2nC i iniE m v?? ??? ?22112 l i m 2 si n si n2 2 2 24nn imvR R i R in n R nR? ? ????? ???? ? ? ? ? ? ??????x y 用微元法計算球殼對質心的轉動動能 EC ω C 2n?i將球殼面分割成寬 的一條條極細的環(huán)帶 2R n??第 i條環(huán)帶的質量 22 s in22 4imm R R inn R??????? ? ? ?????第 i條環(huán)帶的速率 s i n 2i vv R iRn ???整個球殼對過 C而垂直于豎直面的軸的轉動動能為 2311 lim sin2 2 2nn im v inn???? ??? ? 2111 lim 3 sin sin 32 2 4 2 2nn im v i in n n? ? ??? ???? ? ??????21 3 1 3s in s in s in s in1 2 2 2 2 2 2 2 2lim 338 2 2s in s in44nn n n nn n n nmvnnnn? ? ? ???????????? ? ? ???????211 383mv???? ????213mv?返回 筑路工人為了提高工作效率，把從山上挖出來的土石，盛在一個籮筐里，沿一條鋼索道滑至山下．如索道形狀為 的拋物線，且籮筐及它所盛的土石可以看作質量為 m的質點，求籮筐自 x=2a處自由滑至拋物線頂點時的速度，并求此時籮筐對鋼索的壓力 . 專題 10例 5 2 4x ay?在以豎直向上方向為 y軸正方向建立的坐標系中，鋼索呈頂點為坐標原點、開口向上的拋物線． 0 y x a 2a v v g 由質點機械能守恒 212m g a m v?2v ag?質點在拋物線頂點的動力學方程 FN mg 2NvF m g m???其中拋物線頂點的曲率半徑由 2 2vgvg ??? ? ?2NF mg? 如圖所示 ， 一輕繩跨越一固定水平光滑細桿 ， 其兩端各系一小球 ， 球 a置于地面 ， 球 b從水平位置由靜止向下擺動 ， 設兩球質量相同 ． 求 a球恰要離開地面時跨越細桿的兩繩之間的夾角 ． b a l L 設 a球恰要離地時兩繩夾角為 θ，此時 a球與地面無擠壓 ,繩上張力恰與 a球重力相等 ?mg ?mg FT 21 c o s2m v m g l ??b球機械能守恒 b球動力學方程 2c o sT vF m g ml???mgc o s 2 c o sm g m g m g????3 c o s 1? ?1 1c o s3? ?? 如圖所示 ， 長為 l的輕桿上端有一個質量為 m的小重物 ， 桿用鉸鏈固接在 A點 ， 并處于豎直位置 ， 同時與質量為 M的物體互相接觸 ． 由于微小擾動使系統(tǒng)發(fā)生運動 ． 試問質量之比 M/m為多少情況下 ， 桿在脫離物體時刻與水平面成角 α＝ π/6， 這時物體的速度 u為多少 ？ M m l A 小重物與物體恰要脫離時兩者接觸而無擠壓 , 故物體的加速度為零 ! 小重物只受重力，小重物不物體水平速度相同 mg 30v u 則2vu ?過程中系統(tǒng)機械能守恒 2111 s i n6 2 2m g l m v M u???? ? ?????224vm g l m v M??小重物 動力學方程 2sin 6 vm g m l? ? 22g l v?4 mM?2glv??8ugl? 如圖所示 ， 質量均為 m的兩個小球固定在長度為 l的輕桿兩端 ，直立在相互垂直的光滑墻壁和地板交界處 ． 突然發(fā)生微小的擾動使桿無初速倒下 ，求當桿與豎直方向成角 α時 ， A球對墻的作用力 ． B A 當 A球對墻恰無作用力時，桿與豎直所成臨界角為 φ ?? ? 2022 c o s 2m g l m v???由20c o s vm g ml? ?1 2c o s3???當桿不墻夾角 α≥ φ 時 A球對墻無作用力 當桿不墻夾角 α＜ φ 時 ?mg FN 過程中 B球 機械能守恒 ? ? 211 c o s 2m g l m v???此時 B球 動力學方程 2c o s N vm g F ml? ??? ?3 c o s 2NF m g ???NF?A球對墻的作用力 s i nNFF ??? 題 14 ? ?3 c o s 2 s inmg ????R 一質點在光滑的固定半球面上距球心高度為 H的任意點 P，在重力作用下由靜止開始往下滑，從 Q點離開球面，求 PQ兩點的高度差 h. 設球半徑為 R P Q H mg v ?h?由機械能守恒 : 212m g h m v?Q點動力學方程為 : 2s i n vm g mR? ?由幾何關系 : s i n HhR? ?? 3hH?2H R mg hmgRR? ?若質點從球頂部無初速滑下，則可沿球面滑下
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