【文章內容簡介】 ＋ DC→， ∴ BC→＝－ e 2 ＋ e 1 ＋12e 2 ＝ e 1 －12e 2 . 又由 MN→＝ MA→＋ AB→＋ BN→得 MN→＝12DA→＋ AB→＋12BC→ ＝－12e 1 ＋ e 2 ＋12( e 1 －12e 2 ) ＝34e 2 . [ 思路探究 ] 由已知 AD→ ＝ e 1 ， AB→ ＝ e 2 ， 2 DC→ ＝ AB→→ 利用向量共線，三角形法則 → 求解 即時訓練： 如右圖，在平行四邊形 A B C D 中， M ， N 分別為 DC ， BC 的中點，已知 AM→ ＝ c ， AN→ ＝ d ，試用 c ， d 表示 AB→ ， AD→ . 解法一： 設 AB→＝ a ， AD→＝ b ， 則 a ＝ AN→＋ NB→＝ d ＋ ( －12b ) ① b ＝ AM→＋ MD→＝ c ＋ ( －12a ) ② 將 ② 代入 ① 得 a ＝ d ＋ ( －12)[ c ＋ ( －12a )] ? a ＝43d －23c ，代入 ② 得 b ＝ c ＋ ( －12)(43d －23c ) ＝43c －23d . 即 AB→＝43d －23c ， AD→＝43c －23d . 解法二： 設 AB→＝ a ， AD→＝ b . 因為 M ， N 分別為 CD ， BC 的中點， 所以 BN→＝12b ， DM→＝12a ， 因而????? c ＝ b ＋12ad ＝ a ＋12b?????? a ＝23? 2 d － c ?b ＝23? 2 c － d ?， 即 AB→＝23(2 d － c ) ， AD→＝23(2 c － d ) ． 熱點之二 平面向量的坐標運算 1． 向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用． 2． 利用向量的坐標運算解題．主要是根據(jù)相等的向量坐標相同這一原則，通過列方程 (組 )進行求解． [ 例 2] 已知 A ( － 1 , 2 ) ， B ( 2 , 8 ) ， AC→ ＝ 13 AB→ ， DA→ ＝－ 13 BA→ ，求點 C 、 D 和向量CD→ 的坐標． [ 思路探究 ] 待定系數(shù)法設定點 C 、 D 的坐標，再根據(jù)向量 AC→ ， AB→ ， DA→ 和CD→ 關系進行坐標運算，用方程思想解之． [ 課堂記錄 ] 設 C 、 D 的坐標為 ( x1， y1) 、 ( x2， y2) ． 由題意得 AC→＝ ( x1＋ 1 ， y1－ 2) ， AB→＝ ( 3 , 6 ) DA→＝ ( － 1 － x2,2 － y2) ， BA→＝ ( － 3 ，－ 6) 又 AC→＝13AB→， DA→＝－13BA→ ∴ ( x1＋ 1 ， y1－ 2) ＝13( 3 , 6 ) ， ( － 1 － x2,2 － y2) ＝－13( － 3 ，－ 6) 即 ( x1＋ 1 ， y1－ 2) ＝ ( 1 , 2 ) ， ( － 1 － x2,2 － y2) ＝ ( 1 , 2 ) ∴ x1＋ 1 ＝ 1 且 y1－ 2 ＝ 2 ，－ 1 － x2＝ 1 且 2 － y2＝ 2 ， ∴ x1＝ 0 且 y1＝ 4 ， x2＝－ 2 且 y2＝ 0. ∴ 點 C 、 D 和向量 CD→的坐標分別為 ( 0 , 4 ) 、 ( － 2 , 0 ) 和 ( － 2 ，－ 4) ． 即時訓練： 已知點 A ( － 1 ，－ 5) 和向量 a ＝ ( 2 , 3 ) ，若 AB→ ＝ 3 a ，則點 B 的坐標為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 答案： (5,4) 解析： 設 B ( m ， n ) ，則 AB→ ＝ ( m ＋ 1 ， n ＋ 5) ＝ 3 a ＝ 3 ( 2 , 3 ) ＝ ( 6 , 9 ) ， ∴ m ＋ 1 ＝ 6 ，n ＋ 5 ＝ 9. ∴ m ＝ 5 ， n ＝ 4. 熱點之三 平面向量共線的坐標表示 1． 凡遇到與平行有關的問題時，一般要考慮運用向量平行的充要條件． 2． 兩個向量共線的充要條件在解題中具有重要的應用，一般地，如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的值，則利用 “ 若 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)，則 a∥ b的充要條件是 x1y2－ x2y1＝ 0” 比較簡捷． 3．在求與一個已知向量 a共線的向量時，采取待定系數(shù)法更為簡單，即設所求向量為 λa(λ∈ R)，然后結合其他條件列出關于 λ的方程，求出 λ的值后代入 λa即可得到欲求向量，這樣可以使未知數(shù)的個數(shù)少一些，便于求解． [ 例 3] 若平面向量 b 與向量 a ＝ (1 ，－ 2) 的夾角是 180176。 ，且 | b | ＝ 3 5 ，則 b ＝( ) A ． ( － 3 , 6 ) B ． (3 ，－ 6) C ． (6 ，－ 3) D ． ( － 6 , 3 ) [ 課堂記錄 ] 解法一： 確定一個平面向量需要兩個獨立的條件，因此，可設 b ＝ ( x ， y ) ，由 a ， b 的夾角為 180176。 ，得 a ∥ b ， ∴ 1 y － ( － 2 ) x ＝ 0 ① ；由 | b |＝3 5 得 x2＋ y2＝ 45 ② ，聯(lián)立 ①② 解得????? x ＝ 3 ，y ＝－ 6.或????? x ＝－ 3 ，y ＝ 6.當 b ＝ (3 ，－ 6) 時，a 與 b 的夾角為 0176。 ，不合題意， ∴ b ＝ ( － 3 , 6 ) ． 解法二： ∵ 向量 b 與向量 a 的夾角是 180176。 ， ∴ b ＝ λ a ( λ 0 ) ， ∴ | b |＝ | λ || a |，又 | a |＝ 5 ， | b |＝ 3 5 ， ∴ λ ＝－ 3 ， ∴ b ＝－ 3 ( 1 ，－ 2) ＝ ( － 3 , 6 ) ． 解法三： 注意到 A 、 B 、 C 、 D 四個選項均滿足條件 | b |＝ 3 5 ，所以關鍵是利用好夾角這個已知條件，易知 ( － 3 , 6 ) ＝－ 3 ( 1 ，－ 2) ，所以選 A. [思維拓展 ] (1)本題主要涉及平面向量的模、夾角、共線的充要條件等基礎知識，以及運算能力、分析能力和數(shù)形結合能力．注意 “ 若 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)，a∥ b的充要條件是 x1y2－ x2y1＝ 0.” 的使用； (2)解法一用的是待定系數(shù)法，體現(xiàn)了方程的思想，關鍵是將題目中的等量關系轉化成含有未知數(shù)的兩個方程； (3)在解題時，要靈活地運用不同的方法，如利用數(shù)形結合，則可以直觀地得到結果． 即時訓練： ( 1 ) 設向量 a ＝ ( 1 , 2 ) ， b ＝ ( 2 , 3 ) ，若向量 λ a ＋ b 與向量 c ＝ ( － 4 ，－ 7)共線，則 λ ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ . ( 2 ) △ A B C 的三內角 A 、 B 、 C 所對邊的長分別為 a 、 b 、 c . 設向量 p ＝ ( a ＋ c ，b ) ， q ＝ ( b － a ， c － a ) ．若 p ∥ q ，則角 C 的大小為 ( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2 π3 答案： (1)2 (2)B 解析： ( 1 ) λ a ＋ b ＝ ( λ ， 2 λ ) ＋ ( 2 , 3 ) ＝ ( λ ＋ 2 , 2 λ ＋ 3) ， ∴ 存在實數(shù) k ，使 ( λ ＋ 2 , 2 λ ＋ 3) ＝ k ( － 4 ，－ 7) ， ∴????? λ ＋ 2 ＝－ 4 k2 λ ＋ 3 ＝－ 7 k， ∴ λ ＝ 2. ( 2 ) ∵ p ∥ q ， ∴ ( a ＋ c )( c － a ) ＝ b ( b － a ) ， 即 ab ＝ a2＋ b2－ c2， ∴ c o s C ＝a2＋ b2－ c22 ab＝12， 又 ∵ C ∈ (0 ， π ) ， ∴ C ＝π3，故選 B. 熱點之四 平面向量坐標運算的綜合應用 1． 對于向量坐標的綜合應用，關鍵是利用已知條件轉化為方程或函數(shù)關系式解決． 2． 以向量為載體，解決三角、解析幾何問題是高考常考題要引起足夠重視． 3．向量與三角結合題目關鍵是利用向量共線的坐標關系，結合三角函數(shù)中的有關公式進行求解． [例 4] 已知向量 a＝ (sinθ， cosθ－ 2sinθ)， b＝ (1,2)． (1)若 a∥ b，求 tanθ的值； (2)若 |a|＝ |b|,0θπ，求 θ的值． [思路探究 ] (1)利用共線得方程，再結合同角關系式得解； (2)由 |a|＝ |b|得正弦、余弦關系式，利用三角恒等變換得解． [ 課堂記錄 ] ( 1 ) 因為 a ∥ b ，所以 2 si n θ ＝ c o s θ － 2 si n θ ， 于是 4 si n θ ＝ c o s θ ，故 t a n θ ＝14. ( 2 ) 由 | a |＝ | b |知， si n2θ ＋ ( c o s θ － 2 si n θ )2＝ 12＋ 22， 所以 1 － 2 si n 2 θ ＋ 4 si n2θ ＝ 5. 從而－ 2 si n 2 θ ＋ 2 ( 1 － c o s2 θ ) ＝ 4 ， 即 si n 2 θ ＋ c o s2 θ ＝－ 1 ，于是 si n ( 2 θ ＋π4) ＝－22. 又由 0 θ π 知，π42 θ ＋π49 π4， 所以 2 θ ＋π4＝5 π4或 2 θ ＋π4＝7 π4. 因此 θ ＝π2或 θ ＝3 π4. [思維拓展 ] 本題易忽略 θ的范圍，而導致 θ值的誤解． 即時訓練： 已知向量 a ＝ ( si n θ ， 2) ， b ＝ ( c o s θ ， 1) 且 a ∥ b ，其中 θ ∈ (0 ，π2) ． ( 1 ) 求 si n θ 和 c o s θ 的值； ( 2 ) 若 si n ( θ － φ ) ＝1010， 0 φ π2，求 c o s φ 的值． 解： ( 1 ) ∵ a ∥ b ， ∴ si n θ 1 － 2 c o s θ ＝ 0 ， ∴ s in θ ＝ 2 c o s θ . ∵ si n2θ ＋ c o s2θ ＝ 1 ， ∴ 4 c o s2θ ＋ c o s2θ ＝ 1 ， ∴ c o s2θ ＝15. ∵ θ ∈ (0 ，π2) ， ∴ c o s θ ＝55， ∴ si n θ ＝2 55. ( 2 ) 解法一： 由 si n ( θ － φ ) ＝1010， 有 si n θ c o s φ － c o s θ si n φ ＝1010， ∴ si n φ ＝ 2 c o s φ －22， ∴ si n2φ ＋ c o s2φ ＝ 5 c o s2φ － 2 2 c o s φ ＋12＝ 1 ， ∴ 5 c o s2φ － 2 2 c o s φ －12＝ 0. 解得 c o s φ ＝22或 c o s φ ＝－210. ∵ 0 φ π2， ∴ c o s φ ＝22. 解法二： ∵ 0 θ ， φ π2， ∴ －π2 θ － φ π2， ∴ c o s ( θ － φ ) ＝ 1 － si n2? θ － φ ? ＝3 1010. ∴ c o s φ ＝ c o s[ θ － ( θ － φ )] ＝ c o s θ c o s( θ － φ ) ＋ si n θ si n ( θ － φ ) ＝553 1010＋2 551010＝22. 高考動態(tài)研究