【正文】 共線． ( 2 ) 若 A 、 P 、 B 三點(diǎn)共線，則 BP→與 BA→共線，故存在實(shí)數(shù) λ ，使 BP→＝ λ BA→， ∴OP→－ OB→＝ λ ( OA→－ OB→) ， 由條件 m OA→＋ ( n － 1) OB→＝ λ OA→－ λ OB→， 即 ( m － λ ) OA→＋ ( n ＋ λ － 1) OB→＝ 0. 因 O 、 A 、 B 不共線， ∴ OA→、 OB→不共線，由平面向量基本定理知????? m － λ ＝ 0 ，n ＋ λ － 1 ＝ 0 ∴ m ＋ n ＝ 1. [思維拓展 ] 兩向量共線不能等同于兩向量一定在同一直線上，還需要確定它們有一個(gè)公共點(diǎn)，本題考查了向量共線定理的應(yīng)用． 即時(shí)訓(xùn)練： 若 a ， b 是兩個(gè)不共線的非零向量， t ∈ R ，若 a 與 b 起點(diǎn)相同， t 為何值時(shí)， a ， t b ， 13 ( a ＋ b ) 三向量的終點(diǎn)在同一條直線上？ 解： 設(shè) OA→＝ a ， OB→＝ t b ， OC→＝13( a ＋ b ) ， ∴ AC→＝ OC→－ OA→＝－23a ＋13b ， AB→＝ OB→－ OA→＝ t b － a . 要使 A 、 B 、 C 三點(diǎn)共線，則 AC→＝ λ AB→， 即－23a ＋13b ＝ λt b － λ a . ∴ 有????? －23＝－ λ13＝ λt?????? λ ＝23t ＝12， ∴ 當(dāng) t ＝12時(shí)，三向量的終點(diǎn)在同一條直線上． 高考動(dòng)態(tài)研究 感悟高考真題 檢驗(yàn)實(shí)戰(zhàn)技能 直 指 考 向 從近兩年的高考試題來(lái)看，向量的線性運(yùn)算、共線問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)．尤其向量的線性運(yùn)算出現(xiàn)的頻率較高，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬中低檔題目，主要考查向量的線性運(yùn)算及對(duì)向量有關(guān)概念的理解，常與向量共線和平面向量基本定理交匯命題． 經(jīng) 典 考 題 [ 例 4] ( 1 ) ( 2 0 1 0 全國(guó) Ⅱ ) △ A BC 中，點(diǎn) D 在邊 AB 上， CD 平分 ∠ A C B ，若 CB→＝a ， CA→＝ b ， | a | ＝ 1 ， | b | ＝ 2 ，則 CD→等于 ( ) A.13a ＋23b B.23a ＋13b C.35a ＋45b D.45a ＋35b ( 2 ) ( 2 0 1 0 湖北卷 ) 已知 △ A BC 和點(diǎn) M 滿足 MA→＋ MB→＋ MC→＝ 0. 若存在實(shí)數(shù) m 使得AB→＋ AC→＝ m AM→成立，則 m 等于 ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5 [ 解析 ] ( 1 ) ∵ CD 平分 ∠ A C B ， ∴| CA→|| CB→|＝| AD→|| DB→|＝21. ∴ AD→＝ 2 DB→＝23AB→＝23( CB→－ CA→) ＝23( a － b ) ． ∴ CD→＝ CA→＋ AD→＝ b ＋23( a － b ) ＝23a ＋13b . ( 2 ) 設(shè) BC 的中點(diǎn)為 D ，由已知條件可得 M 為 △ A B C 的重 心， AB→＋ AC→＝ 2 AD→，又 AM→＝23AD→，故 m ＝ 3. [答案 ] (1)B (2)B 自 主 體 驗(yàn) 1 ． ( 2 0 0 9 山東卷 ) 設(shè) P 是 △ A B C 所在平面內(nèi)的一點(diǎn)， BC→ ＋ BA→ ＝ 2 BP→ ，則 ( ) A. PA→ ＋ PB→ ＝ 0 B. PC→ ＋ PA→ ＝ 0 C. PB→ ＋ PC→ ＝ 0 D. PA→ ＋ PB→ ＋ PC→ ＝ 0 答案： B 解析： ∵ BC→ ＋ BA→ ＝ 2 BP→ ，由向量加法的平行四邊形法則知 P 為 AC 的中點(diǎn)．如下圖． ∴ PC→ ＋ PA→ ＝ 0. 2 ． ( 2 0 1 0 四川 ) 設(shè)點(diǎn) M 是線段 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) A 在直線 BC 外， BC→ 2 ＝ 16 ， | AB→ ＋AC→ | ＝ | AB→ － AC→ | ，則 | AM→ | ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ . A ． 8 B ． 4 C ． 2 D ． 1 答案： C 解析： 因?yàn)?| AB→ ＋ AC→ |＝ | AB→ － AC→ |，平方得 AB→ AC→ ＝ 0 ，即 AB→ ⊥ AC→ ，又 BC→ 2 ＝16 ， 所以 | BC→ |＝ 4. 所以 | AM→ |＝12 | BC→ |＝ 2. 為方便教學(xué)使用，本部分單獨(dú)裝訂成活頁(yè)裝，請(qǐng)做課時(shí)作業(yè) (24) 第二節(jié) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 ． 2． 掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示． 3．會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算． 4．理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件 . 基礎(chǔ)自主梳理 梳理基礎(chǔ)知識(shí) 檢測(cè)自身能力 1． 平面向量基本定理 定理：如果 e1， e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè) __________向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量 a， __________一對(duì)實(shí)數(shù) λ1， λ2，使 a＝ λ1e1＋ λ2e2. 我們把不共線的向量 e1， e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組 __________． 2． 夾角 知 識(shí) 梳 理 ( 1 ) 已知兩個(gè)非零向量 a 和 b ，作 OA→ ＝ a ， OB→ ＝ b ，則∠ A O B ＝ θ 叫做向量 a 與 b 的 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． ( 2 ) 向量夾角 θ 的范圍是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ， a 與 b 同向時(shí)，夾角 θ ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ ； a 與 b 反向時(shí)，夾角 θ ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ . ( 3 ) 如果向量 a 與 b 的夾角是 ___ _ _ _ _ _ ，我們說(shuō) a 與 b垂直，記作 _ _ _ _ _ _ _ _ . 不共線 有且只有 基底 夾角 [0， π] 0 π π2 a⊥ b 3．把一個(gè)向量分解為兩個(gè) __________的向量，叫做把向量正交分解． 4．在平面直角坐標(biāo)系中，分別取出 x軸、 y軸方向相同的兩個(gè)單位向量 i， j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量 a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) x， y使 a＝ xi＋ yj，我們把有序數(shù)對(duì) __________ 叫做向量 a的 __________，記作 a＝ __________ ，其中 x叫 a在 __________上的坐標(biāo)， y叫 a在 __________上的坐標(biāo)． 5． 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)已知向量 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)和實(shí)數(shù) λ，那么 a＋ b＝ ______________， a－ b＝ _______________ ， λa＝ ___________． (2)已知 A(x1， y1)， B(x2， y2)，則 ＝ (x2， y2)－ (x1， y1)＝ (x2－ x1，y2－ y1)，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量 _______的坐標(biāo)減去 _______的坐標(biāo)． 6．若 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)(b≠0)，則 a∥ b的充要條件是 _____________. 互相垂直 (x， y) 坐標(biāo) (x， y) x軸 y軸 AB→ ＝ OB→ － OA→ (x1＋ x2， y1＋ y2) (x1－ x2， y1－ y2) (λx1， λy1) 終點(diǎn) 始點(diǎn) x1y2－ x2y1＝ 0 7 ． ( 1 ) P 1 ( x 1 ， y 1 ) ， P 2 ( x 2 ， y 2 ) ，則 P 1 P 2 的中點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (x 1 ＋ x 22，y 1 ＋ y 22) ． ( 2 ) P 1 ( x 1 ， y 1 ) ， P 2 ( x 2 ， y 2 ) ， P 3 ( x 3 ， y 3 ) ，則 △ P 1 P 2 P 3 的重心 P 的坐標(biāo)為 ( _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ， _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ) ． x1＋ x2＋ x33 y1＋ y2＋ y33 課 前 自 測(cè) 1．若向量 a＝ (1,1)， b＝ (－ 1,1)， c＝ (4,2)，則 c＝ ( ) A． 3a＋ b B． 3a－ b C．－ a＋ 3b D． a＋ 3b 答案： B 解析： 設(shè) c ＝ λ a ＋ μ b ， 則 ( 4 , 2 ) ＝ ( λ － μ ， λ ＋ μ ) ， 即????? λ － μ ＝ 4 ，λ ＋ μ ＝ 2.解得????? λ ＝ 3 ，μ ＝－ 1 ， ∴ c ＝ 3 a － b . 2．已知 a＝ (4,5)， b＝ (8， y)且 a∥ b，則 y等于 ( ) A． 5 B． 10 ． 15 解析： ∵ a∥ b， ∴ 4y－ 40＝ 0得 y＝ 10. 答案： B 3 ．正三角形 A B C 中， AB→ 與 BC→ 的夾角為 ( ) A ． 60176。 B ． 4 5 176。 C ． 120176。 D ． 90176。 答案： C 解析： AB→ 與 BC→ 的夾角為 180176。 － ∠ A B C ＝ 180176。 － 60176。 ＝ 1 2 0 176。 . 4 ．已知四邊形 A B C D 的三個(gè)頂點(diǎn) A ( 0 , 2 ) ， B ( － 1 ，－ 2) ， C ( 3 , 1 ) ，且 BC→ ＝2 AD→ ，則頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 ( ) A.????????2 ，72 B.????????2 ，－12 C ． ( 3 , 2 ) D ． ( 1 , 3 ) 答案： A 解析： 設(shè) D ( x ， y ) ， AD→＝ ( x ， y － 2) ， BC→＝ ( 4 , 3 ) ， 又 BC→＝ 2 AD→， ∴????? 4 ＝ 2 x ，3 ＝ 2 ? y － 2 ? ，∴????? x ＝ 2 ，y ＝72， 即點(diǎn) D 坐標(biāo)為 (2 ，72) ． 5 ．在平行四邊形 A B C D 中， E 和 F 分別是邊 CD 和 BC 的中點(diǎn)，若 AC→ ＝ λ AE→ ＋μ AF→ ，其中 λ 、 μ ∈ R ，則 λ ＋ μ ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ . 解析： 設(shè) AB→＝ a ， AD→＝ b ， 那么 AE→＝12a ＋ b ， AF→＝ a ＋12b . 又 ∵ AC→＝ a ＋ b ， ∴ AC→＝23( AE→＋ AF→) ， 即 λ ＝ μ ＝23， ∴ λ ＋ μ ＝43. 答案：43 熱點(diǎn)分類講練 點(diǎn)擊重點(diǎn)難點(diǎn) 關(guān)注熱點(diǎn)題型 熱點(diǎn)之一 平面向量基本定理及其應(yīng)用 1． 以平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量為一組基底，該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都可表示成這組基底的線性組合，基底不同，表示也不同． 2． 對(duì)于兩個(gè)向量 a， b，將它們用同一組基底表示，我們可通過(guò)分析這兩個(gè)表示式的關(guān)系，來(lái)反映 a與 b的關(guān)系． 3．利用已知向量表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算或進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算． 提醒： 一組基底中，必不含有零向量． [ 例 1] 已知梯形 A B C D ，如右圖所示， 2 DC→ ＝ AB→ ， M 、 N 分別為 AD 、 BC 的中點(diǎn)．設(shè) AD→ ＝ e 1 ， AB→ ＝ e 2 ，試用 e 1 ， e 2 表示 DC→ ， BC→ ， MN→ . [ 課堂記錄 ] ∵ 2 DC→＝ AB→， ∴ 2 DC→＝ e 2 ， ∴ DC→＝12e 2 . 又 ∵ BC→＝ BA→＋ AD→