【文章內(nèi)容簡介】 ???????????只于彈性常數(shù) E及 μ有關(guān)，稱為 平面問題的彈性矩陣 。 2022/3/14 南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機械工程系 虛位移原理 ? 用 u*和 v*表示虛位移，用 表示與該虛位移相應(yīng)的虛應(yīng)變。 ? 根據(jù) 虛功方程 ：在虛位移過程中， 外力 在 虛位移 上所做的 虛功 等于 應(yīng)力 在 虛應(yīng)變 上所做的 虛功 。 ? 對于厚度為 t的薄板，虛功方程可用矩陣表示為： * * *,x y xy? ? ?* * *( ) ( ) ( ) ( 1 0 )T T TxA S Ad fd x d y t d fd s t d x d y t? ??? ? ? ? ??? ? ??? 其中， 分別為 體力列陣 ， 面力列陣 和 應(yīng)力列陣 。 ? ?* * * ( 1 1 )Td u v? 為 虛位移列陣 ,ff?? ?* * * * ( 1 2 )Tx y x yv? ? ?? 為 虛應(yīng)變列陣 ? 有限單元法中，作用于彈性體的各種外力常以作用于某些點的等效集中力來代替。在厚度為 t的薄板上，設(shè)作用于 i點的集中力沿 x及 y方向的分量為 Fix, Fiy,作用于 j點的力為 Fjx, Fjy等。這些集中力以及它們相應(yīng)的虛位移用列陣表示為： 2022/3/14 南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機械工程系 *,jy jFv*,jx jFu*,ix iFu*,iy iFv虛位移原理 (續(xù) ) **( ) ( ) ( 1 5 )TT xAF d x d y t? ? ?????? 代入虛功方程，得： ? 上式為 集中力作用下的虛功方程 。 ? 集中力列陣 （ 13） ( . . .) Ti x i y j x j yF F F F F?? 虛位移列陣 （ 14） * * * **( . . .) Ti i j ju v u v? ?? 外力在虛位移上所做的功為： * * * * *() Ti x i i y i j x j j y jF u F v F u F v F?? ? ? ? ??? ?2022/3/14 南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機械工程系 （ 1）取三角形單元的結(jié)點位移為基本位置量： (a) 其中， 稱為單元的 結(jié)點位移列陣 ； （ 2）應(yīng)用插值公式，由 單元結(jié)點位移 求出單元的 位移函數(shù) ： (b) 其中， N稱為 形函數(shù)矩陣 ； （ 3）應(yīng)用幾何方程，由 單元的結(jié)點位移 求出 單元的應(yīng)變 ： (c) 其中， B是表示 與 之間關(guān)系的矩陣； 三角形單元離散化結(jié)構(gòu)分析步驟 ()()eTi j mTi i j j m mu v u v u v? ? ? ???( , )( , )eu x ydNv x y ?????????e?eB???? e?2022/3/14 南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機械工程系 (f) 其中， Fe 是單元的結(jié)點力， k稱為 單元勁度列陣 ； 對三角形板單元，節(jié)點力為： (e) （ 5）應(yīng)用 虛功方程 ，由單元的結(jié)點應(yīng)力 求出單元的結(jié)點力。假設(shè)把單元和節(jié)點切開，對右圖中的 i節(jié)點： 節(jié)點對單元的作用力為節(jié)點力， 作用于單元上。 三角形單元離散化結(jié)構(gòu)分析步驟 (續(xù)） （ 4）應(yīng)用 物理方程 ，由單元的結(jié)點位移 求出單元的應(yīng)力： (d) 其中， S稱為 應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣 ； eeFk??? ? ? ?TTe i j m i x i y j x j y m x m yF F F F F F F F F F??eS???()Ti ix iyF F F? Fe是作用于單元的外力，此外，單元內(nèi)部還作用有應(yīng)力。根據(jù)虛功方程，可以將單元的節(jié)點力 Fe用應(yīng)力來表示，從而得到節(jié)點力的公式： 2022/3/14 南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機械工程系 （ 7）列出各結(jié)點的平衡方程，組成整個結(jié)構(gòu)的平衡方程組。由于節(jié)點 i受有環(huán)繞節(jié)點的單元移置而來的節(jié)點載荷 和節(jié)點力 因而 i節(jié)點的平衡方程為： （ i=1,2,…,n） (h) 三角形單元離散化結(jié)構(gòu)分析步驟 (續(xù)） （ 6）應(yīng)用虛功方程，將單元中的外力載荷向結(jié)點移置，化為 結(jié)點載荷 （即求出單元的節(jié)點載荷）： (g) ()eTL L i L j L mF F F F?i L ieeFF???TL i x L i y L j x L j y L m x L m yF F F F F F?() TL i L i x L i yF F F? () Ti ix iyF F F? 將（ f）代入（ h），整理得： （ j) 其中， K稱為 整體剛度矩陣 ， FL是 整體結(jié)點載荷列陣 ， δ是 整體結(jié)點位移列陣 。 LKF? ? 在上述求解步驟中，（ 2）至（ 6）是針對每個單元進行的，稱為 單元分析 ； （ 7）是針對整個結(jié)構(gòu)進行的稱為 整體分析 。 ? 對三角形三個結(jié)點 i,j,m結(jié)點，位移函數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔谠摴?jié)點的位移值，即： 三角形單元的位移模式 ? 對每個單元，只要求得單元中的位移函數(shù)，就可以應(yīng)用 幾何方程 求得應(yīng)變，再應(yīng)用 物理方程 求得應(yīng)力。有限單元法中常取結(jié)點位移為基本未知量，由 單元的結(jié)點位移 求出 單元中的位移函數(shù) 是首先必須解決的問題。 ? 可以假定一個位移模式，來表示單元中的位移函數(shù)（即在單元中做出位移插值函數(shù)）。三角形單元中，可以假定位移分量只是坐標(biāo)的線性函數(shù)，即假定： 1 2 3 4 5 6,u x y v x y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?111, ( , , ) ( 17 )111jjmmiiijjmmxyxyxyN i j mxyxyxy?1 2 3 4 5 6,i i i i i ix y u x y v? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 2 3 4 5 6,j j j j j jx y u x y v? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 2 3 4 5 6,m m m m m mx y u x y v? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? 6個方程解出 α16，代入 u， v式整理得： 其中： i i j j m mu N u N u N u? ? ?i i j j m mv N v N v N v? ? ?? (16)2022/3/14 南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機械工程系 三角形單元的位移模式 ? Ni也可以該寫成為： ( ) / 2 , ( , , ) ( 18 )i i i iN a b x c y A i j m? ? ?11 1 ( 2 0 )21iijjmmxyA x yxy?其中系數(shù) ai,bi,ci是： 11, , , ( , , ) ( 1 9 )j j j ji i im m m mx y y xa b c i j mx y y x? ? ? ?其中 A就等于三角形 ijm的面積： ? 按照解析幾何學(xué)，在圖示的坐標(biāo)系中，為了得出的面積 A不致成為負值，節(jié)點 i， j， m的次序必須是逆時針轉(zhuǎn)向的。 ? Ni， Nj， Nm這三個函數(shù)，表明了單元 ijm的位移 次形態(tài)（也就是位移在單元內(nèi)的變化規(guī)律），因而稱為 形態(tài)函數(shù) ，簡稱 形函數(shù) 。 2022/3/14 南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機械工程系 三角形單元的位移模式 ? 位移模式的表示式可用矩陣表示為： i i j j m mi i j j m mN u N u N uudN v N v N vv???????????? ???? ??簡寫為： ( 23 )edN ??其中 ? ?( ) ( 2 4 )TeT i j m i i j j m mu v u v u v? ? ? ???是單元的 節(jié)點位移列陣 。 0 0 0 ( 2 5 )0 0 0i j mi j mN N NNN N N??? ????是 形態(tài)函數(shù)矩陣 或 形函數(shù)矩陣 。 ? 有限單元法中，應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣和勁度矩陣的建立以及載荷的移置等，都依賴于位移模式。 2022/3/14 南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機械工程系 簡寫為： 其中矩陣 B可寫成分塊形式： 其子矩陣為： 單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣 ? 利用幾何方程和物理方程，求出單元中的應(yīng)變和應(yīng)力，用結(jié)點位移表示： 將位移函數(shù) (16)和 (18)代入幾何方程 (6)，得出用結(jié)點位移表示單元應(yīng)變。 ( 26)eB???0 0 010 0 02iii j mji j mji i j j m mmmuuvxb b buuc c cvyc b c b c buvuxy v??????????? ??????????? ???? ????? ???? ???? ??????? ?????????? ??? ? ( 2 7 )i j mB B B B?01 0 , ( , , ) ( 28 )2iiiiibB c i j mcb?????????2022/3/14 南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機械工程系 ? 將 D表達式 (9)和 B表達式 (27)代入上式，并寫成分塊形式，即得到平面應(yīng)力問中的 應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣 ： 單元的應(yīng)力列陣（續(xù)） ? 再將單元的應(yīng)變式 (26)代入物理方程 (8)，得出用結(jié)點位移表示單元中應(yīng)力的表達式。 ( 29)eD D B? ? ???? ? ( 3 2 )i