【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ? ????????? ?????? ??計(jì)算邊界上所有各結(jié)點(diǎn)處的 值以及必需的 值和 值，列表如下（不必需的導(dǎo)數(shù)值沒有計(jì)算，在表中用短橫線表示。 ?x???y???圖 712 設(shè)有正方形的混凝土深梁，如圖 712，上邊受均布向下的鉛直載荷 ，由下角點(diǎn)處的反力維持平衡 ,試用應(yīng)力函數(shù)的差分解求出應(yīng)力分量。 q結(jié) 點(diǎn) x???y????A CB, D IHGFE , J K L M00000 0 0 00 0 0? ?? ???? ? ?qh3 qh qh qh(2)將邊界外一行各個(gè)虛結(jié)點(diǎn)處的 值 ( 至 )用邊界內(nèi)一行各結(jié)點(diǎn)處的 值表示。由于上下兩邊 ，所以有： ? 16? 26??0???y?1 6 1 1 7 2 1 8 31 9 1 3 2 0 1 4 2 1 1 5,? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?在左邊，邊界上各點(diǎn)有： 3qhx?? ??所以： 23 2 2 2 2 2 22 2 ( 3 ) 6Ih h q h q hx?? ? ? ????? ? ? ? ? ??????同樣： 22 3 , 2 4 , 2 5 , 2 6 6 , 9 , 1 2 , 1 5 6 qh?? ??（ 3）對(duì)邊界內(nèi)的各結(jié)點(diǎn)建立差分方程。 例如對(duì)結(jié)點(diǎn) 1（注意對(duì)稱性）： 1 2 4 5 3 7 1 620 8 ( 2 ) 2 ( 2 2 ) ( 2 ) 0ML? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?將上表中的 的已知值代入，并注意： 224 . 5 , 4 . 0MLq h q h????116 ?? ? ， 得： 21 2 3 4 5 72 1 1 6 2 8 4 2 0 0qh? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?對(duì)結(jié)點(diǎn) 1— 15可以列出 15個(gè)差分方程，其中包含 15各未知值 151 ?? ? ，聯(lián)立求解，得： 1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 15, , , , , , , , , , , , ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?（ 4）計(jì)算邊界外一行各結(jié)點(diǎn)處的 值。 ?由式（ a）、（ b）、（ c）可得（ 為單位）： 2qh16 17 18 1920 21 22 2324 25 26, , , , , , , , ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?（ 5）計(jì)算應(yīng)力。 例如在結(jié)點(diǎn) ，由（ b）式可得： M? ?1 1 621( ) 2 0 .2 8x M M qh? ? ? ???? ? ? ? ???同樣可得： ? ?1 , 4 , 7 , 1 0 , 1 3 , 0 . 2 4 , 0 . 3 1 , 0 . 3 7 , 0 . 2 5 , 0 . 3 9 , 1 . 8 4x A q q q q q q? ? ? ? ? ?沿著梁的中線 的變化如圖 712中的曲線所示。 xMA?, 與材料力學(xué)的結(jié)果比較： ? ? , 5x AM M qW? ? ? ? ? 可見，對(duì)于象本例題中這樣的深梁，用材料力學(xué)公式算出的應(yīng)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能反映實(shí)際情況。 167。 76 溫度應(yīng)力問題的應(yīng)力函數(shù)差分解 對(duì)于溫度應(yīng)力的平面問題，在平面應(yīng)力的情況下，物理方程為： 2 ( 1 )xyxyxyx y x yTETEE? ? ???? ? ??????????????其中 是變溫（不是某一溫度場(chǎng)中的溫度）。代入形變相容方程，得： T2 2 2222 ( 1 )x y y xxyTTy E x E x y E? ? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ?另一方面，在平衡方程中，命體力分量等于零，得： 0 , 0x y y x yxx y y x? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?（ a） （ b） 式（ a）和（ b）就是按應(yīng)力求解時(shí)的基本微分方程。 將（ b）中的第一式及第二式分別對(duì) 及 求導(dǎo)，然后相加，得： x y222222x y yxx y x y??????? ? ?? ? ? ?代入式（ a），化簡(jiǎn)以后，得相容方程為： ? ?22 0xy ET? ? ?? ? ? ? ? 在溫度應(yīng)力問題中，沒有體力作用，因此也可以引用應(yīng)力函數(shù)使問題得到進(jìn)一步的簡(jiǎn)化。命： 2 2 222,x y x yy x x y? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?則平衡微分方程（ b）總能滿足。代入式（ c），得用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程： 42 0ET??? ? ? ?對(duì)于平面應(yīng)變問題，須將其中的 換為 ， 換為 。 E21 ??E ? ? ????1（ c） （ d） （ e） 在溫度應(yīng)力問題中，由于面力分量 ，所以在邊界的所有各點(diǎn)都有： 0XY??0 , 0 , 0xy??? ?????于是求解溫度應(yīng)力的平面問題，就簡(jiǎn)化為在式（ f）所示的邊界條件下求解微分方程（ e），然后按式（ d）求出應(yīng)力分量。 用差分法求解溫度應(yīng)力時(shí)，根據(jù)前面知識(shí)有： ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?21 2 3 4 02040 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2401412 0 8 2T T T T T Thh? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???對(duì)于任一結(jié)點(diǎn) 0，由式（ e）有： ? ? ? ?4200 0ET??? ? ? ?將式（ g）、（ h）代入式（ i），得所需的差分方程： ? ? ? ? ? ?? ?0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1221 2 3 4 020 8 240E h T T T T T? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?（ 1） （ f） （ g） （ h） （ i） 即：邊界上各結(jié)點(diǎn)處的 值為零，而邊界外一行虛結(jié)點(diǎn)處的 值，就等于邊界內(nèi)一行相對(duì)結(jié)點(diǎn)處的 值。 ? ?? 由前面公式有： 1 3 9 1 4 1 02 , 2A Bhhxy??? ? ? ? ??????? ? ? ? ?????? ??按照邊界條件（ f），有： 0 , 0 , 0ABA Bxy???? ??????? ? ? ??????? ??代入式（ j），得邊界條件的差分形式： 13 9 14 100, ,AB? ? ? ? ? ?? ? ? ?（ 2） （ j） 這樣，用差分法求解溫度應(yīng)力問題，就是在（ 2）所示的邊界條件下求解（ 1）型的差分方程。這些方程中只包含內(nèi)結(jié)點(diǎn)處的 值作為未知量，因而可以用來求解這些未知值，從而求得各結(jié)點(diǎn)處的應(yīng)力分量。 ? 此外，前后兩個(gè)無熱源的平面穩(wěn)定溫度場(chǎng)之差，不會(huì)在沒有邊界約束的單連體中引起任何溫度應(yīng)力（不論前一個(gè)穩(wěn)定溫度場(chǎng)經(jīng)過怎樣的不穩(wěn)定過程而過渡到后一個(gè)穩(wěn)定溫度場(chǎng)）。 167。 77 位移的差分解 對(duì)于只具有應(yīng)力邊界條件的單連體受有常體力時(shí)的平面問題，可以通過應(yīng)力函數(shù)的差分解比較簡(jiǎn)單地求得應(yīng)力的數(shù)值。但是對(duì)于多連體，則求解比較繁。當(dāng)彈性體具有應(yīng)力邊界條件或混合邊界條件時(shí)，特別是在體力并非常量的情況下，則更難以利用應(yīng)力函數(shù)的差分解。另一方面，即使通過應(yīng)力函數(shù)差分解求得應(yīng)力的數(shù)值，要進(jìn)一步求出位移也是很繁的。 利用位移的差分解，則不論彈性體是單連體還是多連體，也不論它具有何種邊界，以及它所受的體力是否為常量，總可以比較簡(jiǎn)便地求得位移的數(shù)值，從而求得應(yīng)力的數(shù)值。 如圖 713，設(shè)網(wǎng)線段 01上有一點(diǎn) ，距結(jié)點(diǎn) 0的距離為 。規(guī)定： a h?一、求 （代表位移分量 或 ）在網(wǎng)線上一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值 f u v（一）函數(shù) 沿網(wǎng)格線方向的導(dǎo)數(shù)，在該網(wǎng)線上各點(diǎn)（不包括 f結(jié)點(diǎn)）處的數(shù)值取為常量，據(jù)此有： 10afffxh???? ??????（二）函數(shù) 在垂直于網(wǎng)線方向的導(dǎo)數(shù)，在該網(wǎng)線上各點(diǎn)（不包括結(jié)點(diǎn)）處的數(shù)值取為按線性變化，據(jù)此有： f? ?011af f fy y y??? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?其中， 在結(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值取為： f652401,22 ffffffy h y h? ? ? ? ??????? ? ? ?? ? ? ?對(duì)于網(wǎng)線段 02上距結(jié)點(diǎn) 0為 的一點(diǎn) ，同樣有： h? b20bfffyh?? ?? ??????xyh hh?834 50h?2hh17ac de 6b圖 7— 13 ? ?021bf f fx x x??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?1 3 6 702,22f f f fffx h x h????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?其中： （三）對(duì)于不在網(wǎng)線上的任一點(diǎn) ，則取為： c? ?? ?11c b dc a ef f fy y yf f fx x x?????? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?這樣就有： ? ?? ?2 0 6 11 0 6 211ccf f f ffy h hf f f ffx h h??????? ??? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ??? ?? ? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?二、領(lǐng)域 某個(gè)結(jié)點(diǎn)的 “ 領(lǐng)域 ” ，是指環(huán)繞該結(jié)點(diǎn)的那兩段、三段或四段網(wǎng)線的垂直平分線所圍成的區(qū)域。例如圖 714中，角隅結(jié)點(diǎn) 1的領(lǐng)域是 的正方形 1 ；角隅結(jié)點(diǎn) 2的領(lǐng)域 是 的矩形 。 22 hh ?abcabde2hh?三、推導(dǎo)內(nèi)結(jié)點(diǎn)處的差分公式 在圖 715中，內(nèi)結(jié)點(diǎn) 0的領(lǐng)域是虛線所示的 的正方形。在該領(lǐng)域上，作用于 方向的外力總和用 代表，以沿 軸的正方向?yàn)檎?；作用? 方向的應(yīng)力有 、 、 和 。由該領(lǐng)域在 方向的平衡條件得： hh?x ? ?0xPxx ? ?ax? ? ?bx? ? ?cxy?? ?dxy? x5yxedf24gbac32/h2/h2/h2/h2/h 2/h 2/h 2/h 圖 7— 14 yx21圖 7— 15 54837o6hhh hdy)(?ay)(?by)(?cy)(?cbbxy)(?dxy)(?cxy)(?axy)(?oxP)(oyP)(由差分公式，有： 1 0 0 32 0 0 1652401,1 1 1 12 2 2 2 2 2abcdau u u uuux h x hu u u uuuy h y hvvvvv v vy y y h h?????? ? ? ??? ?? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ????? ??? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0x x x y x y xab cdh h h h P?