[理學(xué)]txlx7平面問(wèn)題的差分解-資料下載頁(yè)
2025-02-18 21:57本頁(yè)面
【正文】 ? ? ??? ? ???? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ? ???代入上式簡(jiǎn)化后，得相應(yīng)于未知值 的差分方程： 0u其圖式如圖 729所示。同樣可得相應(yīng)于未知值 的差分方程，其圖式如圖 730所示。 0v 同理，如果在角隅結(jié)點(diǎn) 0處，一個(gè)邊界或兩個(gè)邊界的向外法線是沿坐標(biāo)軸的負(fù)向，也可得出相應(yīng)于 和 的差分圖式。 0u 0v如圖 731至 736。 圖 730 邊界 邊界 ? ?vu???? ?? 12 )3(vu)31(2 )5( ???? ??xPE ???????? )1(162?yx? ?vu??312 )31( ?? ??? ?vu???? ?12 )3(3y邊界 邊界 ? ?vu???? ?? 3 )1(2vu)31( )31(2 ???? ?yPE ???????? )1(162?x? ?v u? ??? ?? 5 )31(2? ?vu???? ?33 )1(2圖 729 [ ]= [ ]= 圖 731 圖 732 vu)31(2 )5( ???? ?? vu)1(2 )3(3 ???? ?vu)1(2 )3( ???? ?? vu)31(2 )31( ???? ??vu)31( )31(2 ???? ?? vu)3(3 )1(2 ???? ??vu)3( )1(2 ???? ? vu)5( )31(2 ???? ?)( 2116 ??E xP yP)( 2116 ??Ex y x y 邊界 邊界 邊界 邊界 [ ]= [ ]= 圖 733 圖 734 xP yPvu)31(2 )31( ???? ?? vu)1(2 )3( ???? ??vu)1(2 )3(3 ???? ? vu)31(2 )5( ???? ??vu)5( )31(2 ???? ? vu)3( )1(2 ???? ?vu)3(3 )1(2 ???? ?? vu)31( )31(2 ???? ??)1(16 2??E)1(16 2??Ex y x y 邊界 邊界 邊界 邊界 y [ ]= [ ]= 圖 735 圖 736 xP yPvu)1(2 )3(3 ???? ? vu)31(2 )5( ???? ??vu)31(2 )31( ???? ?? vu)1(2 )3( ???? ??vu)3(3 )1(2 ???? ? vu)31( )31(2 ???? ?v u)5( )31(2 ? ??? ?? vu)3( )1(2 ???? ??)1(16 2??E)1(16 2??Ex x y 邊界 邊界 邊界 邊界 167。 78 位移的差分解的實(shí)例 例 1：設(shè)有四邊固定的矩形薄板，如圖737，長(zhǎng)度與寬度之比為 ，密度為 ，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)取 。試用 的網(wǎng)格計(jì)算自重引起的位移和應(yīng)力。 1:2? 0?? 24?解： 由于對(duì)稱(chēng)，只有三個(gè)獨(dú)立的未知值，即 、 、 （ ）。相應(yīng)于 、 、 的差分方程為： au av bv acacb uuvvu ???? ,0au av bv? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? 220)4(23884388)3(88ghPvvEghPvvEPuEbyabbybaxa?????????x 圖 737 c e d b a g f y EghvEghvubaa22 4 7 0 ,4 1 1 ,0 ?? ???簡(jiǎn)化后得： 由于 ，利用物理、幾何方程及中點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式，得： 0??? ?? ? 02102122????????? ??????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????hvvEyvExuyvEhvvEyvExuyvEegbbbbydfaaaay??????對(duì)于邊界上的結(jié)點(diǎn)，利用端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式，得： ? ?? ?? ?? ? ghhEvghhEvghhEvhvvvEyvEghhEvhvvvEyvEbgybeyadafffyafadddy????????94102941028240224382402243....?????????????????? ???????????????????????? ???????????????通過(guò)同樣的計(jì)算，可見(jiàn)在所有各結(jié)點(diǎn)處都得到： 0?x?例 2： 設(shè)例 1中的薄板改在下邊受連干支承（光滑支承），如圖 738，試求自重引起的位移及應(yīng)力。 解： 在該題中，獨(dú)立的未知值有 。相應(yīng)的差分方程為： , aa vufb uv,? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? 025282)4(2388438804)3(8822???????????????fxbafbyfabaybaaxfaPvuuEghPuvvEghPvvEPuuE??簡(jiǎn)化后求解，得： 圖 738 EghuEghvEghvEghufbaa2222,???????? 的計(jì)算同例 1。下面計(jì)算幾點(diǎn)處的 及 ： y? x? xy?? ?? ?? ?? ?? ?ghhvvEhvvvhuuExvyuExvyuEghhEuhuuuExuEhuuExuEghhuuExuEyvxuEbabaikjiiiiixyfgfjjjxgjffxffgggyx??????????2 9 242243222120 9 2243022)(12???????? ??????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????? ???????????????????? ?????????????????????????????????????????? ? 024324322 ????????? ?????????????? ????????????????????hvvvhuuuExvyuE gfjkijjijxy?例 3： 設(shè)有矩形深梁，左右兩邊固定，上邊受均布載荷 ，如圖 739。試求位移及應(yīng)力。取 。 q??解： 由于對(duì)稱(chēng)，獨(dú)立的未知值有 6個(gè)： ,(,, cfbeadccbbaa vvvvvvvuvuvu ???), cfbead uuuuuu ??????的差分方程為： 相應(yīng)于 和 au av ? ?? ?? ?? ? 0802128034022724102960160214036026429608??????????????????aybbaabaaxbbaabaPvuvuvvEPvuvuuuE.))(.().())(.().().().(.)(.)().().().( 圖 739 相應(yīng)于 和 的差分方程為： bu bv? ?? ?? ?? ? 0)()(4)()(8)(80)()(4)(4)(8)(8?????????????????bycbacabbxcbacabPuvuvvvEPvuvuuuE相應(yīng)于 和 的差分方程為： cu cv ? ?? ?? ?? ? qhPvuvuvvEPvuvuuuEcyccbbbccxccbbbc??????????????????).())(.(.))(.().().().(.)(.)().().().(803402802122724102960160403216026429608將上列 6個(gè)方程簡(jiǎn)化后聯(lián)立求解，得位移分量為： EqhvEqhuEqhvEqhuEqhvEqhuccbbaa8 3 9 ,1 7 8 2 0 1 ,0 3 0 9 9 5 ,1 5 1 ???????應(yīng)力分量為： ? ?? ?qhuEhuuuEyvxuEqhuEhuuuEyvxuEadaggggxcfcjjjjx3 9 2502434 6 25024322???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?? ?? ?? ?qhvvEhvvvExvyuEqhvvEhvvvhuuExvyuEccfcjjjjxybbebiigiiixy6 2 50242120243212127 5 1024212243221212.).().(.).().(???????? ???????????????????????????????????????????????????? ??????????? ??????????????????????????????????????? ?? ?qhuvvvEh
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