【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2 習(xí)題討論課 第九章 梁的應(yīng)力 上章討論了梁的內(nèi) 力，本 章主要解決 梁 在 外 力 作 用 下 截 面 上 任 一 點(diǎn) 的 應(yīng) 力及強(qiáng)度計(jì)算。 基本概念 (1) 1. 平面彎曲的外力特點(diǎn) 外力作用線通過彎曲中心， 并垂直于梁軸 ；外力作用平面與形心主慣性平面重合或平行。 2. 純彎曲和橫力彎曲 在桿件橫截面上僅有內(nèi)力彎矩， 無剪力， 桿件的這種受力狀態(tài)稱純彎曲， 純彎曲時(shí)， 梁的橫截面上剪力為零，彎矩為常數(shù)。 在桿件橫截面上的內(nèi)力除彎矩外，尚有剪力，桿件的這種受力狀態(tài)稱橫力彎曲。 3. 平面假定 假設(shè)整個(gè)橫截面在變形后仍是平面稱為平面假定 4. 中性層和中性軸 當(dāng)桿件彎曲變形時(shí)，沿軸線方向既不伸長(zhǎng)又不縮短的一層稱中性軸。 中性層和橫截面的交線，即橫截面上正應(yīng)力為零的各點(diǎn)的連線，稱為中性 軸。 當(dāng) 平 面 彎 曲 時(shí) ， 直 梁 的 中 性 軸 通 過 橫 截 面 的 形 心 且 垂 直 于 載 荷 作 用 面 。 曲 桿 的 中 性 軸 不通過橫截面的形心，而是向曲桿中心移動(dòng)但垂直于載荷作用面。 基本概念（ 2） 5. 梁的合理截面 為 了 減 輕 梁 的 自 重 和 節(jié) 省 用 料 ， 應(yīng) 該 在 滿 足 所 需 要 的 WZ前提下，為橫截面選擇適當(dāng)?shù)男?狀 ， 使 得 WZ與橫截面面積 A 的比值盡可能地大。 在面積 A 相 同 的 情 況 下 ， 用 工 字 形 截 面比矩形截面合理； 矩形截面豎放比平放合理； 環(huán)形截面比圓形截面合理。 對(duì)塑性材料制成的梁應(yīng)該選擇對(duì)稱的截面形狀，對(duì)脆性材料制成的梁宜做成不對(duì)稱截面。 6. 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 過點(diǎn) A 的所有各方位上的應(yīng)力情況。 7. 梁的主應(yīng)力和主平面 最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力作用面為主平面，主平面上的正應(yīng)力為主應(yīng)力。 主應(yīng)力 ?????στατσσσσ22ta n22022m i nm a x??????????? 8. 梁的最大剪應(yīng)力和作用平面 ????τ2σβ2t anτ2σττ022m i nm a x?????????? 基本概念（ 3） 9 . 慣性矩 ????????2 是橫截面對(duì)中性軸的慣性矩。 其中 矩形截面123????? 圓形截面644???π? 10. 抗彎截面模量 m a x?????? 其中 矩形截面6212223????????????? 圓形截面32264234????????ππ??? 如果是型鋼，可查型鋼表。 1 1 . 梁的曲率公式 ?????ρ1 其中???稱為抗彎剛度。 圓形截面32264234????????ππ??? 如果是型鋼，可查型鋼表。 解題要點(diǎn) 1. 求靜定梁的支反力； 2. 畫靜定梁的 Q 、 M 圖； 3. 判斷危險(xiǎn)截面和危險(xiǎn)點(diǎn)； 4. 截面圖形幾何性質(zhì)的計(jì)算； 5. 強(qiáng)度計(jì)算。強(qiáng)度計(jì)算可解決三方面的問題， 一是強(qiáng)度校核，二是設(shè)計(jì)截面，三是求許用荷載。 注意點(diǎn) ? ?對(duì) 受 彎 曲 的 梁 來 說 ， 一 般 彎 矩 是主 要 的 ， 所 以 無 論 強(qiáng) 度 校 核 還 是設(shè) 計(jì) 截 面 ， 首 先 按 正 應(yīng) 力 強(qiáng) 度 條件 進(jìn) 行 ， 然 后 進(jìn) 行 剪 應(yīng) 力 校 核 。 ? ?正確判斷危險(xiǎn)截面和危險(xiǎn)點(diǎn)。 ? ?注意各公式的適用條件。 重點(diǎn)與難點(diǎn)（ 1） 1. 梁橫截面上的正應(yīng)力推導(dǎo) ( 1 ) 矩形截面等直梁的實(shí)驗(yàn)觀察 縱向線變成了相互平行的圓弧線；橫向線傾斜了一 個(gè) 角 度 ， 但 仍 保 持 為 直 線 ， 且 處 處 與 彎曲后的縱向線垂直。 ( 2 ) 假設(shè)和推導(dǎo) 平面假設(shè)；假設(shè)各縱向纖維之間是純彎曲而無擠壓 作 用 ； 在 橫 截 面 的 同 一 高 度 上 所 有 纖 維的變形是相同的。 ( 3 ) 應(yīng)變分布規(guī)律 應(yīng)變與中性層曲率半徑成反比，與該纖維到中性層的距 離 成 正 比 ， 與 Z 方向的位置無關(guān)。 ( 4 ) 應(yīng)力分布規(guī)律正應(yīng)力沿梁高度線性分布，中性軸上等于零，外邊緣上最大。 ( 5 ) 正應(yīng)力公式的推導(dǎo) ( 略 ) 直梁的正應(yīng)力公式 ?????σ 重點(diǎn)和難點(diǎn)（ 2） 正應(yīng)力的大小和該點(diǎn)至中性軸的距離成正比，中性軸一側(cè)為拉應(yīng)力。另一側(cè)為壓應(yīng)力。 橫截面上最大正應(yīng)力 ????m a xσ 直梁的正應(yīng)力公式只能在滿足以下三個(gè)條件時(shí)才能使用： ( a ) 平面彎曲； ( b ) 純彎曲或5???的剪切彎曲，這兒 h 為 梁 的 高 度 ， l 為跨度； ( c ) 應(yīng)力小于比例極限。 ( 2 ) 梁截面上的剪應(yīng)力 ① 矩形截面的剪應(yīng)力公式??????*m a xτ ? 剪應(yīng)力的大小沿梁高度呈拋物線分布，最大剪應(yīng)力發(fā)生在截面中性軸處。剪應(yīng)力方向和截面 上剪力方向一致。 橫截面上最大剪 應(yīng)力??????*m a xm a x?τ 對(duì)矩形截面???23m a x?τ 應(yīng) 當(dāng) 指 出 ： 矩 形 截 面 的 剪 應(yīng) 力 公 式 的 應(yīng) 用 條 件 除 和 彎 曲 正 應(yīng) 力 相 同 外 ， 還 要 另 加 矩形截面高度大于寬度這一條件。 重點(diǎn)和難點(diǎn)（ 3） ②其它截面的最大剪應(yīng)力 對(duì)工字形截面 ????m a xτ（這是近似公式） 圓形截面 ??34m a x?τ ( 3 ) 強(qiáng)度條件 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件 ? ?στ ?????m a x 其中 M 所求橫截面上的彎矩； ?? 梁的抗彎截面模量； ? ?σ 材料的許用應(yīng)力。 彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件? ?ττ*m a xm a x???????? 重點(diǎn)和難點(diǎn)（ 4） 其中 Q 所求橫截面上的剪力； ?? 橫截面對(duì)中性軸的慣性矩； *?? 距中性軸 y 處 的 橫 線 以 下 ( 或以上 ) 的面積*?對(duì)中性軸的靜矩 ( 有正有負(fù) ) ； b 橫截面的面積； ? ?τ 材料的許用剪應(yīng)力。 矩形截面上的剪應(yīng)力最大值是平均剪應(yīng)力的 1 . 5 倍即： ??m ax?τ 圓形截面上的剪應(yīng)力最大值是平均剪應(yīng)力的 1 . 3 3 倍即： 3m a x34??πτ ?? 工字形截面上的剪應(yīng)力最大值由剪應(yīng)力公式來求。 ( 4 ) 二向應(yīng)力狀態(tài) ①二向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)任一斜截面上的應(yīng)力、主應(yīng)力和主平面方位： 任一斜截面上的應(yīng)力 ? ? ? ?? ? α2c o sτα2s i nσσ21τα2s i nτα2c o sσσ21σσ21σαα???????????????? 重點(diǎn)和難點(diǎn)（ 5） 主應(yīng)力大小 ? ?? ?? ?? ?222221421421??????????τσσσσστσσσσσ?????????? 主平面方位 ?????σστα???22 其中 αατσ . 斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力； ????ττσσ ... 單元體 x 、 y 面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力； )(..321321σσσσσσ ?? 應(yīng)力單元體上的主應(yīng)力。 ②二向應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件 強(qiáng)度理論 第一強(qiáng)度理論 強(qiáng)度條件是? ?σσ ?1 第二強(qiáng)度理論 強(qiáng)度條件是? ? ? ?σσσμσ ???321 第三強(qiáng)度理論 強(qiáng)度條件是? ?σσσ ??31 第四強(qiáng)度理論 強(qiáng)度條件是 ? ?σσσσσ ???312321 基本要求 1. 明確純彎曲和橫力彎曲和概念， 了 解推導(dǎo)梁彎曲正應(yīng)力公式的方法。 2. 熟練掌握彎曲正應(yīng)力的計(jì)算，彎 曲 正應(yīng)力強(qiáng)度條件及應(yīng)用。 3. 理解矩形截面梁彎曲剪應(yīng)力公式 的 推導(dǎo)過程，掌握相應(yīng)的剪應(yīng)力分布規(guī)律。 4. 掌握常見截面梁橫截面上最大剪 應(yīng) 力的計(jì)算 和強(qiáng)度校核方法。 5. 知道彎曲中心的概念。 6. 了解提高梁剛度的一些主要措施。 7. 了解一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)、主應(yīng)力和主平面 、單 元 體 等 基 本 概 念 ，知 道 四 個(gè) 強(qiáng) 度 理 論 。 本章講課學(xué)時(shí)分配表 2 167。 9 1 梁 內(nèi) 正 應(yīng) 力 、 正應(yīng)力強(qiáng)度條件 2 167。 9 2 梁 內(nèi) 剪 應(yīng) 力 、 剪應(yīng)力強(qiáng)度條件 167。 9 3 梁的合理截面和變截面梁 第九章 梁的應(yīng)力 6學(xué)時(shí) 2 167。 9 4 梁 的 主 應(yīng)力 、 主 應(yīng)力 跡 線 167。 9 5 二 向 應(yīng)力 狀 態(tài) 下的 強(qiáng) 度 條 件 — 強(qiáng) 度 理 論 第十章 梁的變形 梁在外力作用下除了限制其應(yīng)力，使使其滿足強(qiáng)度條件外，還必須限制它的變形，即必須具有足夠的剛度，滿足剛度條件。 基本概念 1. 撓曲線 撓曲線方程 彎曲后的梁軸線稱為梁的撓曲線（彈性曲線） ，有時(shí)也 稱為梁的撓曲線軸或梁的彈性曲線。當(dāng)梁發(fā)生平面彎曲時(shí)，梁的撓曲線可用方程)( ??? ?來表示 。 2. 撓度和轉(zhuǎn)角 彎曲變形時(shí)的位移有兩種， 一 種是橫 截面形心在變形后軸線垂直方向的位移叫撓度 。 另一 種是橫截面轉(zhuǎn)動(dòng)的角度叫轉(zhuǎn)角。撓度的正負(fù)號(hào)規(guī)定， 以向 下為正，向上為負(fù)；轉(zhuǎn)角的正負(fù)號(hào)規(guī)定為順時(shí)針轉(zhuǎn)為正，反之為負(fù)。 梁的變形可用撓度和轉(zhuǎn)角兩個(gè)量 來度 量， 在建筑工程中梁的撓度是度量梁的變形的主要指 標(biāo)，要求將 其限制在一定的范圍之內(nèi) 重點(diǎn)和難點(diǎn) 1. 撓曲線近似微分方程 在小變形條件下 ???????? )(22?? 積分后得梁的撓度（積分常數(shù)由邊界條件求得） 。 2. 用疊加法求梁的轉(zhuǎn)角和撓度 在 多 個(gè) 載 荷 作 用 下 ， 梁 的 任 一 截 面 的 轉(zhuǎn) 角 和 撓 度 等 于 各 個(gè) 載 荷 情 況 下 的 等 截 面 轉(zhuǎn) 角 、 撓 度 方 程 。 3. 梁的剛度條件? ?? ?θθ ??m a xm a x?? 4. 提高梁剛度的主要措施 ( 1 ) 增大梁的抗彎剛度即增大 E I 增 大 截 面 慣 性 矩 I 可 增 加 截 面 尺 寸 ， 也 可 改 變 截 面 形 狀 。 如 果 將 圓 形 改 為 工 字 形 、 槽 形 或 箱 形 ，可 使 得 截 面 面 積 A 較 小 而 截 面 慣 性 矩 I 較 大 。 另 外 ， 還 可 提 高 材 料 的 彈 性 模 量 E ， 對(duì) 鋼 材 來 講 ，高 強(qiáng) 度 鋼 與 普 通 低 碳 鋼 的 彈 性 模 量 E 值 是 很 接 近 的 ， 因 此 ， 改 用 高 強(qiáng) 度 鋼 雖 然 增 加 強(qiáng) 度 ，但不能增加剛度。 ( 2 ) 調(diào)整梁的跨長(zhǎng)和改變結(jié)構(gòu)形式 基本要求 ，深刻理解梁撓曲線近似微分方程的建立過程 。 法。 的主要措施。 本章講課學(xué)時(shí)分配表 第十章 梁的變形 2 學(xué)時(shí) 167。 10 1 梁 撓 曲 線 的近似微分方程 167。 10 2 用 積 分 法 求梁的變形 167。 10 3 疊加法求梁的變形 167。 10 4 梁 的 剛 度 計(jì)算 和 提 高 梁 的 剛 度 的措施 第十一章