【文章內(nèi)容簡介】 δ ( t )也可采用下列 直觀定義 ：對 γn(t)求導得到如圖所示的矩形脈沖 pn(t) 。 top n ( t )n1n1?2n)(lim)( d e f tpt nn ???? 高度無窮大，寬度無窮小，面積為 1的對稱窄脈沖。 階躍 函 數(shù) 和沖激函 數(shù) 沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關系： tttd)(d)( ?? ?to1ε ( t )to( 1 )δ ( t )? ??? tt ???? d)()(可見，引入沖激函數(shù)之后，間斷點的導數(shù)也存在。如 tof ( t )21 1f(t) = 2ε(t +1)2ε(t 1) f′(t) = 2δ(t +1)2δ(t 1) 求導 1 1 otf 39。( t )( 2 )( 2)ton1?n11γ n21top n ( t )n1n1?2nn→∞ n→∞ tttp nn d)(d)( ?? 階躍 函 數(shù) 和沖激函 數(shù) 三、沖激函數(shù)的性質(zhì) 1. 與普通函數(shù) f(t) 的乘積 ——取樣性質(zhì) 若 f(t)在 t = 0 、 t = a處存在，則 f(t)δ(t) = f(0)δ(t) ， f(t)δ(t –a) = f(a)δ(t –a) )0(d)()( ftttf ?? ??? ?)(2 2)()4s i n()()4s i n( tttt ????? ??? 22d)()4s i n( ???????ttt ???d)1()4s i n(03 ????? ttt ?? ?d)()4s i n(91 ???? ttt ???d)(211 ???? ???? t ?d)()1(1 2 ???? t ????0 22???? ???其它,011,2 tt ε(t) )(d)()( aftattf ??? ??? ? 階躍 函 數(shù) 和沖激函 數(shù) )(2)( 22 tete tt ?? ?? ?? ??? )(2 tedtd t? )(2)( 2 tet t?? ??? 2. 沖激函數(shù)的導數(shù) δ’ (t) （也稱沖激偶） f(t) δ’ (t) = f(0) δ’ (t) – f ’ (0) δ (t) 證明： [ f(t) δ(t)]’ = f(t) δ’ (t) + f ’ (t) δ (t) f(t) δ’ (t) = [ f(t) δ(t)]’ – f ’ (t) δ (t) = f(0) δ’ (t) – f ’ (0) δ (t) δ’ (t)的定義： )0(39。d)()(39。 fttft ??? ??? ?δ(n)(t)的定義： )0()1(d)()( )()( nnn fttft ??? ??? ? 階躍 函 數(shù) 和沖激函 數(shù) ?????? dttt )(39。)2( 2 ? ? ? ??? ? 02)2( ttdtd 0)2(2 ??? tt 4? 3. δ(t) 的尺度變換 )(1|| 1)( )()( taaat nnn ?? ??證明見教材 P21 推論 : (1) )(|| 1)( taat ?? ? )(|| 1)( 00 attatat ??? ??δ(2t) = (t) )()1()( )()( tt nnn ?? ???(2)當 a = –1時 所以， δ(– t) = δ (t) 為偶函數(shù)， δ’ (– t) = – δ’ (t)為奇函數(shù) 階躍 函 數(shù) 和沖激函 數(shù) 已知 f(t)，畫出 g(t) = f ’ (t)和 g(2t) 求導，得 g(t) o 2 tf ( t ) 24( 4 )o 2 tg ( t ) = f 39。( t ) 2 1壓縮，得 g(2t) ( 4 )o1tg ( 2 t ) 1 1 階躍 函 數(shù) 和沖激函 數(shù) 4. 復合函數(shù)形式的沖激函數(shù) 實際中有時會遇到形如 δ[f(t)]的沖激函數(shù)，其中 f(t)是普通函數(shù)。并且 f(t) = 0有 n個互不相等的實根 ti ( i=1， 2， … ， n) ttftftft d)(d)]([)]}([{dd ?? ?)]}([{dd)(39。1)]([ tfttftf ?? ?ε[f(t)]圖示說明： 例 f(t)= t2 – 4 ε(t2 – 4)=1 –ε(t+2)+ε(t – 2) f ( t )t 4 2 2o1ε [ f ( t ) ]2 2 to 階躍 函 數(shù) 和沖激函 數(shù) )2(41)2(41)2(221)2(221)]2()2([21)]4([dd21]4[ 22??????????????????ttttttttttt????????ε( t 2 – 4) =1 –ε(t+2)+ε(t – 2) 一般地， ????niiitttftf1)()(39。1)]([ ??這表明， δ[f(t)]是位于各 ti處，強度為 的 n個沖激函數(shù)構成的沖激函數(shù)序列。 )(39。1itf)21(41)21(41)14( 2 ????? ttt ???注意 ：如果 f(t)=0有重根， δ[f(t)]無意義。 階躍 函 數(shù) 和沖激函 數(shù) 這兩個序列是普通序列。 （ 1）單位 (樣值 )序列 δ(k)的定義 ??????0,00,1)( de fkkk?o11 1 kδ ( k )取樣性質(zhì)： f(k)δ(k) = f(0)δ(k) )0()()( fkkfk???????f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0) 例 ?)( ??????kk? ?)()5( ???????kkk ?三、序列 δ(k)和 ε(k) 階躍 函 數(shù) 和沖激函 數(shù) （ 2）單位階躍序列 ε(k)的定義 ??????0,00,1)( de fkkk?o11 1 kε ( k )2 3…（ 3） ε(k)與 δ(k)的關系 δ(k) = ε(k) –ε(k –1) ?????kiik )()( ??或 ?????0)()(jjkk ??ε(k) = δ(k)+ δ(k –1)+… 階躍 函 數(shù) 和沖激函 數(shù) 系 統(tǒng) 的性 質(zhì) 及分 類 系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 一、系統(tǒng)的定義 若干相互作用、相互聯(lián)系的事物按一定規(guī)律組成具有特定功能的整體稱為系統(tǒng)。 電系統(tǒng)是電子元器件的集合體。電路側重于局部，系統(tǒng)側重于全部。電路、系統(tǒng)兩詞通用。 二、系統(tǒng)的分類及性質(zhì) 可以從多種角度來觀察、分析研究系統(tǒng)的特征，提出對系統(tǒng)進行分類的方法。下面討論幾種常用的分類法。 1. 連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng) 若系統(tǒng)的輸入信號是連續(xù)信號，系統(tǒng)的輸出信號也是連續(xù)信號，則稱該系統(tǒng)為 連續(xù)時間系統(tǒng) ，簡稱為連續(xù)系統(tǒng) 。 若系統(tǒng)的輸入信號和輸出信號均是離散信號，則稱該系統(tǒng)為 離散時間系統(tǒng) ，簡稱為 離散系統(tǒng) 。 2. 動態(tài)系統(tǒng)與即時系統(tǒng) 若系統(tǒng)在任一時刻的響應不僅與該時刻的激勵有關，而且與它過去的歷史狀況有關，則稱為 動態(tài)系統(tǒng) 或 記憶系統(tǒng) 。含有記憶元件 (電容、電感等 )的系統(tǒng)是動態(tài)系統(tǒng)。否則稱 即時系統(tǒng) 或 無記憶系統(tǒng) 。 3. 單輸入單輸出系統(tǒng)與多輸入多輸出系統(tǒng) 系 統(tǒng) 的性 質(zhì) 及分 類 4. 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) 滿足線性性質(zhì)的系統(tǒng)稱為 線性系統(tǒng) 。 （ 1）線性性質(zhì) 系統(tǒng)的激勵 f ()所引起的響應y() 可簡記為 y() = T[ f ()] 系統(tǒng)f ( ) y ( )線性性質(zhì)包括兩方面： 齊次性 和 可加性 。 若系統(tǒng)的激勵 f ()增大 a倍時，其響應 y()也增大 a倍，即 T [af ()] = a T [ f ()] 則稱該系統(tǒng)是 齊次的 。 若系統(tǒng)對于激勵 f1()與 f2()之和的響應等于各個激勵所引起的響應之和，即 T [ f1()+ f2()] = T[ f1()]+T[ f2()] 則稱該系統(tǒng)是 可加的 。 系 統(tǒng) 的性 質(zhì) 及分 類 若系統(tǒng)既是齊次的又是可加的，則稱該系統(tǒng)是 線性的 ， 即 T[a f1() + bf2()]