【文章內容簡介】 drrrRReHH 221202112 *3 ????? ?drrere ara raara rae 22/2/32 1312/2/32 103 000000 )()()2()( ??? ?? ??drre ararae 4/04124 000)2()( ?? ?? ??]2[)( 4/04/04124 0000 drredrre arararae ???? ?? ?? ?)]52(!4[)( 5041240?? aae ? 03 ae ???Δm = 0條件讓我們只需考慮對角元和 H’12, H’21而Δ? = 177。 1條件又進一步排除了對角元。 （ 5） 能量一級修正 將 H’ 的矩陣元代入久期方程： 0000000003003)1(2)1(2)1(200)1(2???????EEEaeaeE??解得 4個根： ????????????0033)1(24)1(230)1(220)1(21EEaeEaeE??由此可見 ， 在外場作用下 ， 原來 4 度簡并的能級 E2(0)在一級修正下 ， 被分裂成 3 條能級 ， 簡并部分消除 。 當躍遷發(fā)生時 ， 原來的一條譜線就變成了 3 條譜線 。 其頻率一條與原來相同 ， 另外兩條中一條稍高于一條稍低于原來頻率 。 )0(2E)0(1E?aeE 3)0(2 ??aeE 3)0(2 ?)0(2E)0(1E 無外電場時 在外電場中 （ 6） 求 0 級近似波函數(shù) 分別將 E2(1) 的 4 個值代入方程組： kcEH nk?,2,10)( )1(1???????? ????????得 四 元一次線性方程組 ?????????????????????????????00000000000300034)1(23)1(22)1(210201)1(2cEcEcEcaecaecE??E2(1) = E21 (1) = 3eεa0 代入上面方程，得： ????? ?? ?? 04321cccc所以相應于能級 E2(0) + 3eεa0 的 0 級近似波函數(shù)是： ][][ 210202212121)0(1 ????? ???? E2(1) = E22(1) = 3eεa0 代入上面方程，得： ????? ??? 04321cccc所以相應于能級 E(0)2 3eεa0 的 0 級近似波函數(shù)是： ][][ 210202212121)0(1 ????? ????121421134433)0(4)0(3 )( ????? ?????? cccc因此相應與 E2(0) 的 0 級近似波函數(shù)可以按如下方式構成 ： E2(1) = E23(1) = E24(1) = 0 ，代入上面方程，得： ????? ??的常數(shù)為不同時等于和 004321cccc我們不妨仍取原來的 0級波函數(shù) ， 即令： ??????????????10014343ccorcc???????? 121)0(42 1 1)0(3????則微擾法求解問題的條件是體系的 Hamilton 量 H可分為兩部分 其中 H0 的本征值本征函數(shù)已知有精確解析解 ，而 H’很小 。 如果上面條件不滿足 ， 微擾法就不適用 。 這時我們可以采用另一種近似方法 —變分法 。 167。 變分法 HHH ??? ??? 0設體系的 Hamilton 量 H 的本征值由小到大順序排列為： E0 E1 E2 ...... En ...... ψ 0 , ψ 1 ψ 2 ......... ψ n ...... （一）能量的平均值 為簡單計 ， 假定 H本征值是分立的 ， 本征函數(shù)組成正交歸一完備系 ， 設 ψ 是任一歸一化的波函數(shù) ， 在此態(tài)中體系能量平均值： 0202* ECEECdHHEnnn ????? ?? ????這個不等式表明 ， 用任意波函數(shù) ψ 計算出的平均值 H 總是大于 （ 或等于 ） 體系基態(tài)的能量 ， 而僅當該波函數(shù)等于體系基態(tài)波函數(shù)時 ， 平均值 H 才等于基態(tài)能量 。 選取試探波函數(shù)后 ， 我們就可以計算 H )()(?*)( ?????? HdHH ???? ?欲使 H(λ) 取最小值，則要求： 0)()( ???? ? ?? ? dHddHd上式就可定出試探波函數(shù)中的變分參量 λ 取何值時 H(λ) 有最小值?？梢宰鳛榛芰康南孪?. （二）變分方法 上面我們已經設波函數(shù)是歸一化的 ,若 ψ 未歸一化 ， 則 0*?*EddHH ??????????試探波函數(shù)的好壞直接關系到計算結果，但是如何選取試探波函數(shù)卻沒有一個固定可循的法則，通常是根據物理上的知覺去猜測。 （ 1） 根據體系 Hamilton 量的形式和對稱性推測合理的試探波函數(shù)； （ 2） 試探波函數(shù)要滿足問題的邊界條件； （ 3）為了有選擇的靈活性，試探波函數(shù)應包含一個或 多個待調整的參數(shù)，這些參數(shù)稱為變分參數(shù)； （ 4） 若體系 Hamilton 量可以分成兩部分 H = H0 + H1， 而 H0 的本征函數(shù)已知有解析解 ， 則該解析 解可作為體系的試探波函數(shù) 。 （三）如何選取試探波函數(shù) 167。 與時間有關的微擾理論 ,躍遷幾率 前面 定態(tài)微擾理論討論了定態(tài)薛定諤方程的近似求解 . 本節(jié)中我們研究量子態(tài)的演化問題 ,也就是已知初始時刻的狀態(tài) 求任意時刻的狀態(tài) 然是依據運動方程 ),(?),( trHtrti ??? ?????),( 0tr??),( tr?? H不含時間的情況（事實上是勢場不含時間） 這種情況態(tài)的演化問題將歸結為求解定態(tài)薛定諤方程。 若定諤方程的解已求解得 )()(? rErH nnn ?? ?? ? ? ? nmmn d ???? * )3,2,1,( ??mn???nnn rtatr )()(),(?? ? 求 歸結為求上面的展開系數(shù) ),( tr??)(tan令 : 代入薛定諤方程得到 上式兩邊同時左乘 ，再積分得 ?? ?nnnnnnn rEtardttdai )()()()( ??? ??)(* rm ??? ??? ?nnmnnnmnn drEtaddttdai ?????? )(*)(*)( ???? ?nnmnnnmnn Etadttdai ?? )()(?mmm Etadttdai )()( ??此方程很容易積分 顯然積分常數(shù) 其中 初始時刻的展開系數(shù)，即 tEimmCeta ???)()0(maC ?)0(ma???n mmrar )()0()0,( ?? ? ? ?? ?? drra mm )0,()(*)0( ??總結 : ??????????drrareatrnnnntEinn)0,()(*)0()()0(),(?????2. Hamilton 算符含有與時間有關的微擾 )(?)(? 0 tHHtH ??? 含時微擾理論可以通過 H0 的定態(tài)波函數(shù)近似地求出微擾存在情況下的波函數(shù)，從而可以計算無微擾體系在加入含時微擾后，體系由一個量子態(tài)到另一個量子態(tài)的躍遷幾率。 討論的條件是 :當 H0不含時間，且它的本征方程較易解 （ 1）薛定諤方程的另一種形式（ H0表象） 若的 H0本征值方程已解得 0?HnnnH ??? ?0? ? ?nmmn d ???? *)3,2,1,( ??mn令 則顯然有 再令 代入薛定諤方程： tEinnne ???? ?nn Hti ?????0???? ???? ?nnnnntEin taretatrn )()()(),( ?? ? ???????? )??( 0 HHti ?? ??? ??????????n nnnnnnnnnnn taHtaHttaidttdai )(?)(?)()(0??上式左邊第二項與右邊第一項相等，于是有 ?? ????nnnnnn taHdttdai )(?)(??? dtHtadtadtdi nmnnnmnn???????????? ???? )(?)()( **??? ?? detHtatadtdi tinmnnmnnnnm ?? /][* )(?)()( ??????????? ??????????????? ?頻率微擾矩陣元其中B oh rdtHHnmmnnmmn][1)(??*???????以 Φ m* 左乘上式后對全空間積分 應當指出 ,這是薛定諤方程在 H0表象中的表示 . timnnnm mneHtatadtdi ??? ? ?)()(?2）近似求解（逐次逼近法） 條件是 H’ 遠小于 H0 設 t=0 時體系處于 H0 某一本征態(tài) Φ k，即 或者 零級近似：取 H’(t)=0 由方程可以得到 ? ?????nnnkk rr ?)0,()0,