線(xiàn)性代數(shù)的幾個(gè)基本概念(編輯修改稿)
2025-02-16 10:17 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 on Arnx x x??Column space xAnx例 4 若 1236A??? ????分解 43x??? ????得 2241rnxx? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ? ?1 2 2 11 0 ( )3 6 4 3TrA x C A? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 2 2 0()3 6 1 0nA x N A? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?三、矩陣的奇異值分解 應(yīng)用領(lǐng)域 ； 特征值問(wèn)題； 最小二乘問(wèn)題； 廣義逆矩陣問(wèn)題等 . ； 信號(hào)與圖像處理； 系統(tǒng)理論和控制等 . 矩陣的正交對(duì)角分解 若 A是 n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則存在正交矩陣 Q，使得 (1) 其中 為矩陣 A的特征值，而 Q的 n個(gè)列向 量組成 A的一個(gè)完備的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量系 . 對(duì)于實(shí)的非對(duì)稱(chēng)矩陣 A，不再有像式（ 1）的分解，但卻存在兩個(gè)正交矩陣 P和 Q，使 為對(duì)角矩陣，即有下面的正交對(duì)角分解定理 . 12( , , ... )T nQ AQ diag ? ? ??( 1 , 2 , ... )i in? ?TP AQ 定理 設(shè) 非奇異，則存在正交矩陣 P和 Q， 使得 (2) 其中 證 因?yàn)?A非奇異，所以 為實(shí)對(duì)稱(chēng)正定矩陣，于是存 在正交矩陣 Q使得， 其中 為 特征值 令 , 12( ) ( , , .. . )TT nQ A A Q d iag ? ? ??0( 1 , 2 , .. . )i in? ??12( , , ... )T nP AQ diag ? ? ??nnAR??TAA0( 1 , 2 , .. . )i in? ??TAA( 1 , 2 , .. . )ii in???? 12( , , ... )ndi ag ? ? ???1() TAQ AQ?? ? ?2()TTQ A A Q ??1P AQ ???則有 或者 再令 ,于是有 即 P為正交矩陣，且使 改寫(xiě)式 (2)為 (3) 稱(chēng)式（ 3）為 正交矩陣 A的正交對(duì)角分解 11( ) ( )TTP P A Q A Q I??? ? ? ?12( , , .. . )T nP A Q d iag ? ? ?? ? ?12( , , ... ) TnA P di ag Q? ? ?? ? ?引理： 則 是對(duì)稱(chēng)矩陣， 且其特征值是非負(fù)實(shí)數(shù) . 2. 3. 設(shè) 則 的充要條件是 ( 0 ) ,mnr r???AC()Trank A A rank A?TAA( 0 ) ,mnr r???AC 0?A0T A ?AA r TAA定義 設(shè) 是秩為 的 實(shí)矩陣， mn?的特征值為 1 2 1 0r r n? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?則稱(chēng) 為 A的奇異值 . ( 1 , 2 , , )ii ir????( 0 )rr ?奇異值分解定理 設(shè) A是秩為 ( 0 )rr ?的 mn?則存在 階正交矩陣 實(shí)矩陣 , m U 與 階正交矩陣 ,V使得 T S????????OU AVOO?其中 12di a g( , , , )r? ? ???( 1 , 2 , , )ir?1 0r??? ? ?為矩陣 A的全部奇異值 . n① 證明 設(shè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 的特征值為 A1 2 1 0r r n? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?則存在 n階正交矩陣 ，使得 V1 2TT()n?????????? ????????OV A A VOO?將 分塊為 V12()?V V V其中 ， 分別是 的前 r 列與后 列 . 1V 2V V nr?② 并改寫(xiě)②式為 2T ??? ????OA A V VOO?則有 T 2 T1 1 2??A A V V A A V O， ?由③的第一式可得 ③ T T 2 T1 1 1 1( ) ( ) r??V A AV AV AV E， 或 者? ? ?由③的第二式可得 T2 2 2( ) ( ) ??AV AV O AV O或 者令 ，則 ，即 的 r個(gè)列是兩兩正交的 單位向量 .記 111??U A V ? T11 r?U U E 1U1 1 2( , , , )r?U u u u因此可將 擴(kuò)充成 的標(biāo)準(zhǔn)正交基，記 增添的向量為
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