線性代數(shù)的幾個(gè)基本概念(參考版)
2025-01-23 10:17本頁(yè)面
【正文】 ) for i=1:k sumA=sumA+ D(i,i)*U(:,i)*V(:,i)39。 k=input(39。), sumA=zeros。 end sumA k? 或者 clear A=input(39。 k=3 [U,D,V]=svd(A)。2,5,1,3,5。 1\sqrt(2),1\sqrt(2)] [U,S,V]=svd(A) ?V是正交矩陣，表示二維空間的一個(gè)旋轉(zhuǎn) TV1 1 1 011 1 0 12TV ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?11( , )2211( , )22?(1,0)(0,1)S?1122001 0 1 0000 1 0 10 0 0 0S????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? S 將平面上的圓變換到三 維空間坐標(biāo)平面上的橢 圓 1?2????V是正交矩陣，表示二維空間的一個(gè)旋轉(zhuǎn) S 維 將 空 平 間 面 坐 上 標(biāo) 的 平 圓 面 變 上 換 的 到 橢 三 圓 U是正交矩陣，表示三維空間的一個(gè)旋轉(zhuǎn) TA U SV??TVSU1v2v11u?22u? 當(dāng) A是方陣時(shí)，其奇異值的幾何意義是 : 若 x是 維單位球面上的一點(diǎn)，則 是一個(gè) 維 橢球面上的點(diǎn)，其中橢球的 個(gè)半軸長(zhǎng)正好是 A的 個(gè)奇異值 . 簡(jiǎn)單地說(shuō)，在 2維情況下， A將單位圓變成了橢圓，A的兩個(gè)奇異值是橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸 . n Ax nn n 設(shè) A 是秩為 的 實(shí)矩陣， A的奇異值分解為： 即 ,且 ( 0 )rr ? mn?T?A U S V?A V US奇異值分解的性質(zhì) 11( , , , , , )r r m??U u u u u1rmn????????????????OSOO11( , , , , , )r r n??V v v v v則 （ 1） A的非零奇異值的個(gè)數(shù)等于它的秩 r，即 （ 2） 是 的標(biāo)準(zhǔn)正交基 . （ 3） 是 的標(biāo)準(zhǔn)正交基 . （ 4） 是 的標(biāo)準(zhǔn)正交基 . （ 5） 是 的標(biāo)準(zhǔn)正交基 . r a nk ( ) r?A1 ,rn?vv1 , ruu ()C A1 ,rm?uuT()N A1 , rvv T()C A()N A從上面的結(jié)論可以得到 T( ) ( )CN ??AAT( ) ( )CN ??AAdi m ( ) di m ( )C N n??AAT( ) ( )C 與 CAA 同構(gòu) 奇異值分解的特征 A表示 個(gè) 維向量，可以通過(guò)奇異值分解表示成 個(gè) 維向量 .若 A的秩 遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于 和 , 則通過(guò)奇異值分解可以降低A的維數(shù) .可以計(jì)算出，當(dāng) 時(shí)，可以達(dá)到降維的目的，同時(shí)可以降低計(jì)算機(jī)對(duì)存貯器的要求 . 1mnrmn? ??n mmn? rm nr2. 奇異值對(duì)矩陣的擾動(dòng)不敏感 特征值對(duì)矩陣的擾動(dòng)敏感 . 在數(shù)學(xué)上可以證明，奇異值的變化不會(huì)超過(guò)相應(yīng)矩陣的變化，即對(duì)任何的相同階數(shù)的實(shí)矩陣 A、 B的按從大到小排列的奇異值 和 有 i? i?2ii AB? ? ?? ??3. 奇異值的比例不變性 ,即 的奇異值是 A的奇異值的 倍 . A?? .即若 P是正交陣， PA的奇異值與 A的奇異值相同 . 奇異值的比例和旋轉(zhuǎn)不變性特征在數(shù)字圖象的旋轉(zhuǎn)、鏡像、平移、放大、縮小等幾何變化方面有很好的應(yīng)用 . 5. 容易得到矩陣 A的秩為 的一個(gè)最佳逼近矩陣 . 奇異值的這個(gè)特征可以應(yīng)用于信號(hào)的分解和重構(gòu)，提取有用信息，消除信號(hào)噪聲 . ? ?kr?kk由矩陣 A的奇異值分解 可見(jiàn)， A是矩陣 的加權(quán)和，其中權(quán)系數(shù)按遞減排列： T T T1 1 1 2 2 2 r r r? ? ?? ? ? ?A u v u v u vT T T1 1 2 2, , , rru v u v u v12 0r? ? ?? ? ? ?矩陣的秩 逼近 k 好的矩陣 A，這一點(diǎn)在數(shù)字圖像處理方面非常有用 . 矩陣的秩 k 逼近定義為 秩 逼近就精確等于 A ，而秩 1逼近的誤差最大 . T T T1 1 1 2 2 2 ( 1 )k k k kr? ? ?? ? ? ? ? ?A u v u v u v因此當(dāng)舍去權(quán)系數(shù)小的一些項(xiàng)后，仍然能較 顯然，權(quán)系數(shù)大的那些項(xiàng)對(duì)矩陣 A的貢獻(xiàn)大 r在 MATLAB中，秩 逼近的程序如下： clear A=[2,7,9,5,4。0,0,0] [U,S,V]=svd(A) 計(jì)算結(jié)果 A = 0 0 0 0 0 0 0 0 U =
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