【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 kkkkkkkkk xEEkVkxEEHx 0000001 ???? 所以電子的能量（ ）和波函數(shù)（ ）分別為 （ ） （ ） ? 式中 。容易驗(yàn)證 是晶格的周期函數(shù)。所以，把勢(shì)能隨坐 標(biāo)變化的部分當(dāng)作微擾而求得的近似波函數(shù)也滿足布洛赫定理。這種波函數(shù)由兩部分迭加而成，第一部分是波矢為 的前進(jìn)平面波 ；第二部分是該平面波受周期勢(shì)場(chǎng)作用而所產(chǎn)生的散射波（調(diào)幅波），因子 代表有關(guān)散射波成分的振幅。式（ ）表明，考慮了弱周期勢(shì)的微擾，計(jì)算到一級(jí)修正，顯示了波函數(shù)從自由電子的平面波向布洛赫波的過(guò)渡。 ? ? ? ? ??????? ????????nnkkkkankkVmmkEEEE2222222210222 ????? ? ? ? ? ???????????kkkkkkkk xEEHxx 0000 ???? ?xueLankkemVeL kik xnnxainik x 1221122222????????????????????? ????? ???????? ? ?????????? ?????022222221nnxainkankkemVxu????? ?xukkikxeL12222 22?????? ???ankkmV n???? 值得注意的是，對(duì)于式（ ），當(dāng) 時(shí)， 。也就是說(shuō)，當(dāng) 為 的整數(shù)倍時(shí)， 。很顯然，這個(gè)結(jié)果是沒(méi)有意義的。這是因?yàn)樵谝话闱闆r下，各原子所產(chǎn)生的散射波的位相之間沒(méi)有什么關(guān)系，彼此互相抵消，周期場(chǎng)對(duì)前進(jìn)的平面波影響不大，散射波中各成分的振幅較小，這正是微擾理論適用的情況；可是如果由相鄰原子所產(chǎn)生的散射波成分（即反射波）有相同的位相時(shí)（當(dāng)前進(jìn)平面波的波長(zhǎng)正好滿足條件時(shí)，兩個(gè)相鄰原子的反射波就會(huì)有相同的位相），它們將互相加強(qiáng)，使前進(jìn)的平面波受到很大的干涉，此時(shí)周期場(chǎng)不再可以看作微擾，圖 給出了這一物理圖象。由式（ ）和式（ ）也可以看出，當(dāng) 時(shí)， ，即 或 。此時(shí)在散射波中這種成分的振幅變?yōu)闊o(wú)限大，一級(jí)修正項(xiàng)太大，微擾法就不適用了。這正是布喇格反射條件在正入射情形（ ）的結(jié)果。因此，對(duì)于能量二級(jí)修正 發(fā)散，即趨于無(wú)窮的情形，簡(jiǎn)單的微擾展開(kāi)式（ ）不再能用，需改用簡(jiǎn)并微擾的方法。 圖 互相影響的狀態(tài) O ank ??? ? ??2kE ka? ? ? ??2kE0 20ankk EE ??? 02 2222 ??????? ??ankk ???ank ?? na2??1sin ??? ?2kE? 根據(jù)以上分析，在原來(lái)零級(jí)波函數(shù) 中，將摻入與它有微擾矩陣元的其它零級(jí)波函數(shù) ，而且它們的能量差愈小，摻入的部分就愈大。對(duì)于一維情形，當(dāng) 的 狀態(tài)（可以把波矢為 的波稱為前進(jìn)波），例如 （ ） ? 在周期場(chǎng)的微擾作用下，最主要的影響將是摻入了和它能量接近的狀態(tài)，見(jiàn)圖 。同樣可以說(shuō)明當(dāng) 的 狀態(tài)（可以把波矢為 的波稱為后退波） （ ） 針對(duì)這種情況，適當(dāng)?shù)慕铺幚矸椒ㄊ?，忽略所有其它摻入的狀態(tài)。這時(shí)可以認(rèn)為電子的零級(jí)近似的波函數(shù)應(yīng)該是前進(jìn)波 （ 狀態(tài)）和后退波（布拉格反射波） （ 狀態(tài)）的線性組合，即為 （ ） ? 其中 和 如式（ ）和式（ ）所給出。然后，直接根據(jù)波動(dòng)方程去確定 A、 B以及能量本征值。也就是說(shuō)，這里比上面用的微擾方法更精確地考慮了影響最大的態(tài)，而忽略了其它態(tài)的次要影響。這種處理 狀態(tài)的方法實(shí)際上就是一般簡(jiǎn)并微擾的方法。在簡(jiǎn)并微擾的問(wèn)題中，原來(lái)有若干狀態(tài)能量相同，在零級(jí)微擾計(jì)算中，正是根據(jù)波動(dòng)方程求得這些簡(jiǎn)并態(tài)之間的適當(dāng)線性組合，其它能量不同狀態(tài)的影響，只在進(jìn)一步近似中才考慮。與此相似，在式（ ）中我們?nèi)×耸剑?11）和式（ ）兩態(tài)的線性組合，雖然它們能量只是接近，而不是完全相同，但是這樣做的精神是和簡(jiǎn)并微擾方法完全一致的。 ? ?xk0?? ?? ?xk0??ank ??k k? ???? 1ank ?ank ????k? k?? ?????? 1ank ?ikxk eL10 ?? kxkik eL ?? ? 10? k?xkiik xkk eLBeLABA ?? ???? 11000 ???k k?ank ??? 將波函數(shù)（ ）代入薛定諤方程 （ ） 并利用 （ ） （ ） 得到 （ ） 分別從左邊乘上 或 ，然后對(duì) 積分，并考慮到 （ ） （ ） 就得到兩個(gè)線性代數(shù)方程式 （ ） 要使 A及 B有非零解，必須滿足條件 （ ） 即 （ ） ? ?? ? ? ? 02 0222 ????????? ?? xxVEmdxd ??? ? ? ?xExVdxdm kkk 00002222 ?? ????????? ?? ? ? ? ? ?xExVdxdm kkk 00002222 ??? ????????? ?? ???? ? ? ? ? ? ? ? 00000 ???????? ?? xVEEBxVEEA kkkk ???0k? ??0k? dx0?????? kVkkVk ?? ?????? nVkVkkVk? ?? ??????????????? 0000BEEAVBVAEEknnk000??? ???? knnkEEVVEE? ?? ? 0200 ???? ? nkk VEEEE? 由此解出能量本征值為 （ ） 或 （ ） 式中 代表自由電子在 狀態(tài)的動(dòng)能。 下面分別討論兩種情況： ? 一、當(dāng) 時(shí)，此時(shí)， ， ， 。 （ ） 即原來(lái)能量都等于 的兩個(gè)狀態(tài)， 以及 ，由于波的相互作用很強(qiáng)，變成兩個(gè)能量不同的狀態(tài)，一個(gè)狀態(tài)能量是 ，低于動(dòng)能；另一個(gè)狀態(tài)能量是 ，高于動(dòng)能。兩個(gè)能量的差為禁帶寬度 （ ） ? 即禁帶發(fā)生在波矢 及 之處，且禁帶寬度等于周期勢(shì)能的展開(kāi)式中，波矢為 的傅立葉分量 的絕對(duì)值的兩倍。這種斷開(kāi)使準(zhǔn)連 續(xù)的電子能譜出現(xiàn)能隙（ energy gap），在能隙范圍內(nèi)沒(méi)有許可的電子態(tài)，電子能級(jí)分裂成一系列的能帶。 ? ? ? ? 22222222220220 2412421 ???????????????????????????????? ????? ?? anmVanmVEEEEE nnkkkk ?? ??? ? 2222 41 nnn TVTE ??????222 ???????anmTn??ank ??0??ank ?? ank ???? nkk TEE ?? ?00nn VTE ??nT ank ?? ank ????nn VT ?nn VT ?ng VE 2?ank ?? ank ????anKn ?2? nV? 1．當(dāng) 時(shí)，由式（ ）得 （ ） 若 ，則 。因此 （ ） ? 2．當(dāng) 時(shí)，有