[工學(xué)]第六節(jié)行列式按行列展開(編輯修改稿)
2025-02-15 12:15 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 階范德蒙德行列式成立 假設(shè)（ 1）式對于 階范德蒙德行列式 1n? 為此設(shè)法將 降階， nD 從第 行開始， n 后行 減去前行的 倍， 1x 有 2/16/2022 12:15 PM 第一章 行列式 按第 1列展開， nD2 1 3 1 12 2 1 3 3 1 12 2 22 2 1 3 3 1 11 1 1 100 ( ) ( ) ( )0 ( ) ( ) ( )nnnn n nnnx x x x x xx x x x x x x x xx x x x x x x x x? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?并將每列的公因子 提出， 1()ixx?有 122 2 2121 1 1121 1 1nn nn n nnx x xD x x xx x x? ? ??2/16/2022 12:15 PM 第一章 行列式 按歸納法假設(shè)， nD232 1 3 1 12 2 2231 1 1( ) ( ) ( )nnn n nnx x xx x x x x xx x x? ? ?? ? ? ?1n?上式右端的行列式是 階范德蒙德行列式， 它等于所有 因子的乘積 ()ijxx?其中 ， 2n i j? ? ?故 nD 2 1 3 1 12( ) ( ) ( ) ( )n i jn i jx x x x x x x x? ? ?? ? ? ? ??1()ijn i jxx? ? ???? 證畢 2/16/2022 12:15 PM 第一章 行列式 故 例如 行列式 2 2 2 23 3 3 31 1 1 12 3 4 52 3 4 52 3 4 5D ?是一個范德蒙德行列式 ( 3 2 ) ( 4 2 ) ( 5 2 ) ( 4 3 ) ( 5 3 ) ( 5 4 )? ? ? ? ? ? ?D12?2/16/2022 12:15 PM 第一章 行列式 【 推論 】 行列式某一行（列）的元素與 另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積 1 1 2 2 0 ( )i j i j i n j na A a A a A i j? ? ? ? ?1 1 2 2 0 ( )i j i j n i n ja A a A a A i j? ? ? ? ?之和等于零， 即 證 將行列式 按第 行展開 de t ( )ijDa? j2/16/2022 12:15 PM 第一章 行列式 1 1 2 2j j j j j n j na A a A a A? ? ?在上式中， 11 1111ni inj jnn n naaaaaaaa?可得 ( 1 , , )ika k n?將 換成 ， jka2/16/2022 12:15 PM 第一章 行列式 1 1 2 2i j i j i n j na A a A a A? ? ?11 1111ni ini inn n naaaaaaaa?上式右端行列式中有兩行對應(yīng)元素 第 行 i第 行 j當(dāng) 時， ij?2/16/2022 12:15
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