數(shù)值分析第5章1-3節(jié)(編輯修改稿)
2025-02-15 11:24 本頁面
【文章內容簡介】 ???將 約化為 等價的三角形方程組 (). bAx ?則可通過高斯消去法 (a) 消元計算 )1,2,1( ?? nk ?????????? ??? ),1(/ )()( nkiaam kkkkikik?),1,()()()1( nkjiamaa kkjikkijkij ??????).,1()()()1( nkibmbb kkikkiki ??????（ ） .)()2(2)1(121)()2(2)2(22)1(1)1(12)1(11???????????????????????????????????????????nnnnnnnnbbbxxxaaaaaa???????且計算公式如下： 29 (b) 回代計算 ????? ? ,/ )()( nnnnn abx).1,2,1(/)( )(1)()( ?????? ???nniaxabx iiinijjiijiii (2) 如果 為非奇異矩陣，則可通過高斯消去法 (及交 換兩行的初等變換 )將方程組 約化為 (). AbAx ?（ ） .)()2(2)1(121)()2(2)2(22)1(1)1(12)1(11???????????????????????????????????????????nnnnnnnnbbbxxxaaaaaa???????30 算法 1(高斯算法 ) 對于 sk ,2,1 ?? (1) 如果 則計算停止 ,0?kka (2) 對于 mki ,1 ??? (a) kkikikik aama /?? (b) 對于 nkj ,1 ???.* kjikijij amaa ?? 本算法用高斯方法將 約化為上梯形，且 覆蓋 ，乘數(shù) 覆蓋 . ),2,1( sk ?? AA)(kA ikm ika),1m i n (),1(R nmsmnm ???? ?A設 如果 0)( ?kkka31 當 時，總共大約需要 次乘法運算 . nm? 3/3n 數(shù) 稱為約化的 主元素 . )(kkka 算法 2(回代算法 ) 上三角陣， 設 其中 為非奇異 ,bUx ? nn?? RU本算法計算 的解 . bUx ? 對于 1,?ni? (1) ii bx ? 算法 1第 步需要作 次除法， 次乘法，因此，本算法 (從第 1步到第 步消元計算總的計算量 )大約需要 次乘法 (對相當大的 ). k km? ))(( knkm ??smn ssnms ??? 2/)(3/ 23 s32 (2) 對于 nij ,1 ???jijii xuxx *?? (3) iiii uxx /? 這個算法需要 乘除法運算 . 2/)1( ?nn 高斯消去法對于某些簡單的矩陣可能會失敗， .01 10 ?????????A由此，需要對算法 1進行修改， 例如 ).,2,1(0)( ??? ka kkk在什么條件下才能保證 A首先需要研究原來的矩陣 33 定理 6 約化的主元素 的充要條件 ),2,1(0)( kia iii ???是矩陣 的順序主子式 A).,2,1(0 kiD i ???,0111 ?? aD即 （ ） ).,2,1(01111kiaaaaDiiiii ???????? 證明 顯然，當 時，定理 6成立 . 1?k 現(xiàn)設定理 6充分性對 是成立的，求證定理 6充分性對 亦成立 . 1?kk首先利用歸納法證明定理 6的充分性 . 34 設 ),2,1(0 kiD i ???),1,2,1( ?? ki ?可用高斯消去法將 約化到 ， )1(A )(kA,)()()()()2(2)2(2)2(22)1(1)1(1)1(12)1(11)()1(??????????????????????knnknkkknkkknknkkaaaaaaaaaaa???????????AA且有 0)( ?iiia于是由歸納法假設有 即 ,0 )2(22)1(11)2(22)1(12)1(112 aaaaaD ??35 .)()2(22)1(11)()1(1)1(11kkkkkkkk aaaaaaD ?????? （ ） 由設 ),2,1(0 kiD i ???定理 6充分性對 亦成立 . k 顯然，由假設 ),2,1(0)( kia iii ???利用 ()式， ,0)( ?kkka則有 利用 ()式亦可 ).,2,1(0 kiD i ???推出 36 推論 ????? ? ,)1(11 1Da如果 的順序主子式 A ),1,2,1(0 ??? nk ?kD 則 ).,3,2(/)( nka kkk ??? ? 1kk DD37 于是對 ()施行第一次消元后化為 ()， 矩陣的三角分解 下面借助矩陣理論進一步對消去法作些分析，從而建 立高斯消去法與矩陣因式分解的關系 . 設 ()的系數(shù)矩陣 的各順序主子式均不為零 . nn?? RA由于對 施行行的初等變換相當于用初等矩陣左乘 ， A A這時 化為 )1(A,)2(A化為 )1(b ，)2(b, )2()1(1)2()1(1 bbLAAL ??即 38 其中 .1111131211????????????????????nmmm??L 一般第 步消元， k 化為 , )(kA )1( ?kA化為 ， )(kb )1( ?kb, )1()()1()( ?? ?? kkkkkk bbLAAL相當于 其中 39 .1111,1????????????????????????knkkkmm???L重復這過程，最后得到 ??????? 。)()1(121 nn AALLL ? （ ） .)()1(121 nn bbLLL ?? ? 記上三角矩陣 為 ，由 ()得到 )(nA U40 ,1 11211 LUULLLA ?? ? ??? n?其中 1 11211 ? ???? nLLLL ?為單位下三角矩陣 . 這就是說，高斯消去法實質上產(chǎn)生了一個將 分解為 兩個三角矩陣相乘的因式分解，于是得到如下重要定理，
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