[工學]彈塑性力學第七章軸的扭轉(zhuǎn)(編輯修改稿)
2025-02-15 11:19 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ? 1,2222byaxmyx?滿足： 0?s?C?? ?2 ? ?Cba bam ??22222M 端面邊界條件： ??? d x dyM ?2 ?? ???????? ??? dxdybyaxm 122222yAIdAx ??? 2 ba 34??xAIdAy ??? 2 34 ab??abAdAA?????abm???abMm??? ? ? ???????? ???? 1,2222byaxabMyx??? 例題 1：橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn) 解： 應(yīng)力分量： abMm???? ? ???????? ???? 1,2222byaxabMyx??yzx ??? ?txzy ???? ?tyabM32???xbaM32??22 zyzx ttt ?? 42422byaxabM ???? ?ababMbyzx ??? ?? 2 2m ax ?ttzxtzytmaxto a b x y 012222 ??? byaxM 單位長度的扭轉(zhuǎn)角： GC2???? ? Cbabam ??22222? ?3322baGMba???zxvyzu?????zuyGxw???????? ?1zvxGyw????????? ?1位移分量： ? ?3322baGMba????? ?3322baGM z ybau????? ?3322baGM z xbav???? ?3322baGMxba????? ?3322baGMyba????? ?3322baGM xybaw????扭桿的橫截面不再保持為平面，而翹曲為曲面。 o a b x y 012222 ??? byaxM ? 例題 2：空心圓軸的扭轉(zhuǎn) o a b x y 0222 ??? ayx解： ? ? ? ?222, ayxmyx ????滿足： 0?? ar??? Gm 242 ????2?Gm ??M 端面邊界條件： ? ?? ???? abr r drarmabbm ?? 22)(2 22222)( 44 abm ?? ?)( 44 abMm?? ?? ?22 abmbr ????????Aisi dAAM ?? 22? ?22 arm ??? ? ? ?22244 )(, ayxab Myx ???? ??yzx ??? ?txzy ???? ?t)(244 abMy?? ?)(244 abMx????)(244 baGM?? ??四、彈性扭轉(zhuǎn)的薄膜比擬 ?比擬： 兩個概念完全不同的問題，如果數(shù)學表達式相同，可借助比較直觀的簡單問題討論復雜的抽象的問題。 ?薄膜在均勻壓力作用下的垂度與等截面扭桿問題的應(yīng)力函數(shù)在數(shù)學上是相似的，故可用比擬方法求扭轉(zhuǎn)問題的解答。 （ 2）邊界形狀與扭桿橫截面相同。 （ 1）薄膜均勻張在水平邊界上。 （ 3）給薄膜施加均勻壓力。 q 薄膜上的點產(chǎn)生垂度 薄膜具有柔順性 薄膜只受表面張力作用 z(x,y) q z(x,y) 公式推導： （ 1）建立坐標系： x y o x z o （ 2）取微元體： dx dy ?薄膜單位長度上的張力： T Tdx Tdy Tdy Tdx z z39。 a b q Tdy Tdy a b dxxzzz ?????xz???? aa ta n?????? ?????? dxxzzxb0?? zFxzT dydxxzzxT dy ??????????????yzT dxdyyzzyT dx ?????????????????0?? q d x d y02222??????????????? qyzxzTTqz ??? 2q z(x,y) x y o x z o dx dy ?薄膜在周邊上的撓度： Tdx Tdy Tdy Tdx z z39。 a b q Tdy Tdy a b dxxzzz ?????xz???? aa ta n?????? ?????? dxxzzxbTqz ??? 2 ?? G22 ???0?sz 0?s??薄膜與支承面間體積的 2倍： ??? z d xd yV 22??? d x dyM ?2?GTq 2?令：VMz 2, ???（ 1）薄膜的垂度對應(yīng)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)，薄膜與支承面體積的 2倍對應(yīng)扭矩。 ? 討論： ?GTq 2?令：VMz 2, ???（ 2）薄膜在 y 方向斜率對應(yīng)扭桿在同一點處 x 方向的剪應(yīng)力。薄膜在 x 方向斜率對應(yīng)扭桿在同一點處 y 方向的剪應(yīng)力的大小。 z?? yyzzx ?????? ?txxzyx ??????? ?t? 扭桿橫截面上某一點沿任意方向的剪應(yīng)力，等于薄膜對應(yīng)點處沿垂直方向的斜率。 ? 最大剪應(yīng)力對應(yīng)于薄膜斜率最大處。 Tqz ???2 ?? G22 ???0?sz 0?s???? z d x d yV2 ??? d x d yM ?yz??yzx ??? ?txz??xyx ???? ?t22 zyzx ttt ??? ? ? ?22 xy ???? ?? ??t?g r a d?jyixgr ad ?? ?????? ???? 剪應(yīng)力 t 等于 ? 的梯度的模，方向沿 ??const 曲線（薄膜中的等高線）的切線方向。 ? ? 的等值線稱剪應(yīng)力跡線。 ? 最大剪應(yīng)力產(chǎn)生于 ? 的梯度最大處（薄膜中等高線密度最大處）。 （ 3）剪應(yīng)力環(huán)量定理： 在扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)的閉合曲線上，剪應(yīng)力沿其跡線的回路積分（剪應(yīng)力環(huán)量）與所圍面積成正比。 AGds ?t 2?? A ds t 證明： jxiy ?? ?????? ??t
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