【文章內(nèi)容簡介】 。測量結果寫成 。 ??? Ki inKn11 ? nn ?計數(shù)率平均值 的 相對統(tǒng)計誤差 為： ????iinn NKtnn /1/1??3. 在有 本底 時， 樣品凈計數(shù)率 的 統(tǒng)計誤差 實驗測量工作必須分為兩步進行： 一步：測量包括 本底在內(nèi)的有放射性樣品或放射源時 的 計數(shù) ； 一步：測量 無放射性樣品或放射源時 的 本底計數(shù) 。 設測量 本底 的時間為 tb，在 tb內(nèi)測得的計數(shù)為 Nb,在 ts時間內(nèi)，有 樣品 時，測的計數(shù)（其中包括本底計數(shù)）為 Ns，則 樣品 的 凈計數(shù)率 為： tNtNnnnbbssbs ????0凈計數(shù)率 的 統(tǒng)計誤差 為： tntntNtNbbssbsbsn ???? 220? δ 是 delta σ 是 sigma 測量結果寫成： tntnnnnbbssbsn ????? )(00 ?計數(shù)率單位為 min1或 s1，習慣上寫成 CPM或 CPS，計數(shù)無單位。 例 1已知本底計數(shù)為 nb=15計數(shù) /min，測量樣品計數(shù)率為 ns=60計數(shù) /min，試求凈計數(shù)率的統(tǒng)計誤差和凈計數(shù) 率 的結果表達式。 例 3 樣品 8分鐘得計數(shù) 200個，測本底 4分鐘得計數(shù)72個。求樣品凈計數(shù)率及誤差。 解： 例 2 設在相等的時間里測得放射源總計數(shù) 1071，本底計數(shù) 521，求凈計數(shù)及誤差。 解： 測量條件的選擇 在計數(shù)測量中為了保證一定的精密度， 為了減小統(tǒng)計誤差 ，如何選擇 測量時間 和如何 判斷最佳工作條件 十分重要。 (1) 測量時間的選擇 (A) 不考慮本底的影響； 根據(jù)： ntv n /1?nvtn21?例 1 要求 δn ?1％， n大約為 103min1，求則所需測量時間 t。 例 2，測量時間為 1min，要求 δ n?1％， 若探測器效率為 ε ＝ 100％， 則所測放射源的最小活度。 可以 定數(shù)測量 、 定時測量 確定測量計數(shù) (放射源活度 A一定時 ) (B) 有本底存在時，需要合理分配樣品測量時間 ts和本底測量時間 tb。 bsbbss nntNtNn ????0bbssn tntn??0? 為在 規(guī)定的 總測量時間 T＝ ts+tb內(nèi)使測量結果的 誤差最小 。 為在 規(guī)定的 總測量時間 T＝ ts+tb內(nèi)使測量結果的 誤差最小 。由極值條件： 0???sbsss tTntndtd得到： bsbsnntt ?Tnnnntbsbss /1/?? Tnntbsb /11??該條件下的 相對方差 為： 222)1/(110 ???????? ??? bsbbbssbsn nnTntntnnn? 據(jù)此，在 相對標準偏差 給定 的情況下，所需 最小測量時間 為： 22m i n )(10 bsnnnT???如果要求測量有一定的精度 。 解聯(lián)立方程： ?n0? ?? ?? ?? ? ??nbsnbsbsnnnnntnnnnntbsbbss00222/1222/1????????例題：本底計數(shù)為 nb=15計數(shù) /min，測量樣品計數(shù)率為 ns=60計數(shù) /min，試求對給定的測量時間tb+ts來說凈計數(shù)率精確度最高時的最優(yōu)化比值tb/ts。若凈計數(shù)率的誤差為 5%， tb和 ts的最小值是多少？ 探測器的優(yōu)質因子 例如在低水平測量時， ni/nb?1,而凈計數(shù)率 n0又正比于探測效率 ε ，代入上式就可得出結論，好的探測器應能給出最小的 nb/ ε 2,其倒數(shù) ε 2/ nb稱為 探測器的優(yōu)質因子 。對探測器總希望 nb越小越好， ε 越大越好 。選擇 高 ε 低 nb的探測器在低水平放射性測量中特別重要。 例題：為了探測 α 粒子，有兩種探測器可以選擇，一種的本底為 7計數(shù) /min,效率為 ；另一種的本底為 3計數(shù) /min，效率為 ，對于低水平測量工作，應選用哪一種探測器更好些？ 復雜隨機變量 往往可以 分解 為 由若干簡單的隨機變量 運算 、 組合 而成。 這樣就 可以由 已知的 簡單隨機變量 的 分布函數(shù) 與 數(shù)字表征 來 求 復雜隨機變量 的 分布函數(shù) 和 數(shù)字表征 。 (1). 隨機變量的函數(shù) 已知隨機變量 X， 其可取值為 x， 概率密度函數(shù)為 f(x)。 而 Y＝ ?(x)， 求隨機變量 Y 的可取值 y 和概率密度函數(shù) g(y)。 ? ?XY ?? ? ?YX ?? 由于 X取各可取值的概率就是 Y取相應可取值的概率，所以： dyygdxxf )()( ?)()( xfdydxyg ?)())(( yyf ? ??? 的得到在數(shù)學上是十分困難的。它取決于 和函數(shù)關系 ? ?yg? ?xf ? ?XY ?? 僅對一些最簡單的函數(shù)才能得到其解析表達式 。 aXY ?如： ? ? ? ?xfayg ?? 1? ? ? ? ? ? ? ?XEaadxxfaaxdyygyYE ??????? ? ???????1? ? ? ?? ? ? ? ? ?XDadyygyEyYD ????? ????22對 多個獨立隨機變量 的函數(shù) ? ?nXXXY ,. ., 21?? Y 也是一個隨機變量 ， 其 可取值 和 概率密度函數(shù) 由 各 Xi 的 可取值 和 概率密度函數(shù) 共同確定 。 由此，可得到若干簡單的關系： (A) ? ? ? ?XCECXE ?? ? ? ?XDCCXD 2?(B) 相互獨立 的隨機變量的 “ 和 ” 、 “ 差 ” 與“ 積 ” 的 數(shù)學期望 ，是各隨機變量 數(shù)學期望 的“ 和 ” 、 “ 差 ” 與 “ 積 ” ，即： ? ? ? ? ? ?2121 XEXEXXE ???? ? ? ? ? ?1 2 1 2E X X E X E X? ? ?(C) 相互獨立 的隨機變量的 “ 和 ” 與 “ 差 ” 的方差 ， 是各隨機變量 方差 的 “ 和 ” ， 即： ? ? ? ? ? ?2121 XDXDXXD ???(D) 相互獨立 的 遵守泊松分布的隨機變量 之 “ 和 ”仍服從泊松分布。 要注意的是相互獨立的遵守泊松分布的隨機變量之 “ 差 ” ， 不服從 泊松分布。 (2). 串級隨機變量 輻射測量中經(jīng)常會遇到 級聯(lián) 、 倍增 過程的 漲落問題 ，這些問題可以用 串級型隨機變量 的概念及運算規(guī)則來處理。 設對應于試驗條件組 A定義 一個隨機變量 ?1，對應于另一試驗條件組 B定義 另一隨機變量 ?2，且二者 相互獨立 。按以下規(guī)則定義一個 新的隨機變量 ?： (A) 先 按條件組 A作 一次 試驗，實現(xiàn)了 隨機變量 ?1的 一個 可取值 ?1i； (B) 再 按條件組 B作 ?1i次 試驗，實現(xiàn)了 隨機變量 ?2的 ?1i個 可取值 ； i12,22,21 ???? ?(C) 將 這些可取值加起來 得到 一個 值 ?i，并將此值定義為一個 新的隨機變量 ?的 一個 可取值 ； ???????iijji111222221 ...?? ????? 這里， 隨機變量 ?為 隨機變量 ?1與 ?2的“ 串級 ” 隨機變量。而且按順序分別稱 ?1和?2為此串級隨機變量的 第一級 和 第二級 。 串級隨機變量的主要特點： (A) 期望值： ? ? ? ? ? ?21 ??? EEE ??(B) 方差： ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?21122 ????? DEDED ??(C) 相對方差： ? ?? ?? ? ? ?21222211??? ??????EED??? 假如 第一級 隨機變量的 數(shù)學期望 很大 ， 那么就可以 忽略 第二級 隨機變量的 相對方差 對串級隨機變量 的 相對方差 的 貢獻 。 (D) 由 兩個 伯努利型隨機變量 ?1和 ?2串級而成的隨機變量 ? 仍是 伯努利型隨機變量 。 即 ? 仍是只有兩個可取值 (0,1)的伯努利型隨機變量 。 若伯努利型 隨機變量 ?1 的正結果發(fā)生概率為 p1, ?2 的正結果發(fā)生概率為 p2， 則 ? 正結果發(fā)生概率為： 21 ppp ??(E) 由 遵守泊松分布 的隨機變量 ?1與 伯努利型隨機變量 ?2串級而成的隨機變量 ? 仍 遵守泊松分布 。 設 ?1的 平均值 為 m1,而 ?2的正結果發(fā)生概率為 p2，則 ? 的 平均值 為：