[工學(xué)]06集合代數(shù)(編輯修改稿)
2025-02-15 10:35 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 B＝ {{a}} C＝ {a,{c,d}}則 ∪ A＝ {a,b,c,d,e,f} ∪ B＝ {a} ∪ C＝ a∪{c,d} ∪ ?＝ ? ∩ A＝ {a} ∩B ＝ {a} ∩C ＝ a∩{c,d}廣義并與廣義交的說明q 若 A＝ {A1,A2,…,A n}， 則 ∪ A＝ A1∪A 2∪…∪A nq 若 A＝ {A1,A2,…,A n}， 則 ∩ A＝ A1∩A 2∩…∩A nq 在后面的敘述中，若只說并或交，則這都是指集合的初級并或初級交；如果在并或交前邊冠以 “ 廣義 ” 兩個字，則指集合的廣義并或廣義交。q 為了使得集合表達式更為簡潔，我們對集合運算的優(yōu)先順序做如下規(guī)定：– 稱 廣義并 、 廣義交、冪集、絕對補 運算為一類運算– 并、交、相對補、對稱差 運算為二類運算。– 一類運算優(yōu)先于二類運算– 一類運算之間由右向左順序進行– 二類運算之間由括號決定先后順序。例 例 設(shè) A＝ {{a},{a,b}}計算 ∪∪ A， ∩∩ A， ∩∪ A∪(∪∪A － ∪∩ A)解答 ∪ A＝ {a,b}∩A ＝ {a}∪∪A ＝ a∪b∩∩A ＝ a∩∪A ∪( ∪∪A － ∪∩ A)＝ (a∩b)∪(( a∪b )－ a)＝ (a∩b)∪(ba)＝ b文氏圖 (Venn Diagram) q 集合之間的關(guān)系和運算可以用 文氏圖 給予形象的描述。q 文氏圖的構(gòu)造方法如下：– 畫一個大矩形表示全集 E(有時為簡單起見可將全集省略 )。– 在矩形內(nèi)畫一些圓 (或任何其它的適當(dāng)?shù)拈]曲線 )，用圓的內(nèi)部表示集合。– 不同的圓代表不同的集合。如果沒有關(guān)于集合不交的說明，任何兩個圓彼此相交。– 圖中陰影的區(qū)域表示新組成的集合。– 可以用實心點代表集合中的元素。 文氏圖的實例 有窮集的計數(shù)問題q 使用文氏圖可以很方便地解決 有窮集的計數(shù)問題 。q 首先根據(jù)已知條件把對應(yīng)的文氏圖畫出來。– 一般地說，每一條性質(zhì)決定一個集合。– 有多少條性質(zhì)，就有多少個集合。– 如果沒有特殊說明，任何兩個集合都畫成相交的q 然后將已知集合的元素數(shù)填入表示該集合的區(qū)域內(nèi)。– 通常從 n個集合的交集填起，– 根據(jù)計算的結(jié)果將數(shù)字逐步填入所有的空白區(qū)域。– 如果交集的數(shù)字是未知的，可以設(shè)為 x。q 根據(jù)題目中的條件，列出一次方程或方程組，就可以求得所需要的結(jié)果。 例 例 對 24名會外語的科技人員進行掌握外語情況的調(diào)查。其統(tǒng)計結(jié)果如下：會英、日、德和法語的人分別為 13， 5，10和 9人，其中同時會英語和日語的有 2人，會英、德和法語中任兩種語言的都是 4人。已知會日語的人既不懂法語也不懂德語，分別求只會一種語言 (英、德、法、日 )的人數(shù)和會三種語言的人數(shù)。 解 ：令 A， B， C， D分別表示會英、法、德、日語的人的集合。根據(jù)題意畫出文氏圖。設(shè)同時會三種語言的有 x人，只會英、法或德語一種語言的分別為 y1， y2和 y3人。將 x和 y1，y2， y3填入圖中相應(yīng)的區(qū)域，然后依次填入其它區(qū)域的人數(shù)。 例 4x4x4xxy2 y1y32 52英 13法 9德 10日 5y1+2(4x)+x+2＝ 13y2+2(4x)+x＝ 9y3+2(4x)+x＝ 10y1+y2+y3+3(4x)+x＝ 245包含排斥原理定理 設(shè) S為有窮集， P1,P2,…,P m是 m個性質(zhì)。 S中的任何元素 x或者具有性質(zhì) Pi， 或者不具有性質(zhì) Pi(i=1,2,…m),兩種情況必居其一。令 Ai表示 S中具有性質(zhì) Pi的元素構(gòu)成的子集，則 S中不具有性質(zhì) P1,P2,…,P m的元素為推論qS中至少具有一條性質(zhì)的元素數(shù)為例 例 求 1到 1000之間 (包含 1和 1000在內(nèi) )既不能被 5和 6，也不能被 8整除的數(shù)有多少個。解答 設(shè) S＝ {x|x∈ Z∧ 1≤ x≤ 1000} A＝ { x|x∈ S∧ x可被 5整除 } B＝ { x|x∈ S∧ x可被 6整除 } C＝ { x|x∈ S∧ x可被 8整除 }|T|表示有窮集 T
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