[工學]06集合代數(shù)-資料下載頁
2025-01-19 10:35本頁面
【正文】 ∈E? x∈ A (因為 x∈E 是恒真命題 )所以 A∩E ＝ A例 例 證明等式 ， 即 A－ B＝ A∩ ～ B證明 對于任意的 x， 有x∈A － B ? x∈A ∧ x ?B ? x∈A ∧ x∈ ～ B ? x∈A∩ ～ B 所以 A－ B＝ A∩ ～ B。說明q 等式 ，這在證明有關(guān)相對補的恒等式中是很有用的。集合恒等式的證明方法集合演算法利用 集合恒等式 和 已知結(jié)論集合演算法的格式題目： A＝ B證明： A ＝ … … ＝ B所以 A＝ B題目： A?B證明： A ? … … ? B所以 A?B例 例 假設已知 等式 ～ ，試證 等式 ，即 A∪ (A∩ B)＝ A。證明 A∪(A∩B) ＝ (A∩E)∪(A∩B) ( 由 等式 ) ＝ A∩(E∪B) ( 由 等式 ) ＝ A∩(B∪E) ( 由 等式 ) ＝ A∩E ( 由 等式 ) ＝ A (由 等式 )例 例 證明 (A－ B)∪B ＝ A∪B證明 (A－ B)∪B ＝ (A∩ ～ B)∪B ＝ (A∪B)∩( ～ B∪B) ＝ (A∪B)∩E ＝ A∪B例 例 證明命題 。 A∪B ＝ B ? A?B ? A∩B ＝ A ? A－ B＝ ? 說明 式 A?B的另外三種等價的定義，這不僅為證明兩個集合之間的包含關(guān)系提供了新方法，同時也可以用于集合公式的化簡。證明思路 A∪B ＝ B ? A?B ? A∩B ＝ A ? A－ B＝ ? ? A∪B ＝ B例 證明 A∪B ＝ B ? A?B對于任意的 x， 有 x∈A ? x∈A∨x∈B ? x∈A∪B? x∈B (因為 A∪B ＝ B)所以 A?B。例 證明 A?B ? A∩B ＝ A 顯然有 A∩B ? A， 下面證 A ? A∩B 。 對于任意的 x， 有 x∈A ? x∈A∧x∈A ? x∈A∧x∈B (因為 A?B) ? x∈A∩B 所以 A ? A∩B 由 集合相等 的定義有 A∩B ＝ A。例 證明 A∩B ＝ A ? A－ B＝ ? A－ B ＝ A∩ ～ B ＝ (A∩B)∩ ～ B (因為 A∩B ＝ A) ＝ A∩(B∩ ～ B) ＝ A∩ ? ＝ ?例 證明 A－ B＝ ? ? A∪B ＝ B。由 例 (A－ B)∪B ＝ A∪B 及 A－ B＝ ? 有 A∪B ＝ B∪(A － B) ＝ B∪ ? ＝ B 例 例 化簡 ((A∪B∪C)∩(A∪B)) － ((A∪(B － C))∩A)解答 因為 A∪B ? A∪B∪C ， A?A∪(B － C)，由式 ： ((A∪B∪ C)∩(A∪B) )－ ((A∪ (B－ C))∩A ) ＝ (A∪B) － A ＝ B－ A例 例 已知 A?B＝ A?C， 證明 B＝ C。證明 已知 A?B＝ A?C， 所以有 A?(A?B)＝ A?(A?C) ? (A?A)?B＝ (A?A)?C (由式 ) ? ??B＝ ??C (由式 ) ? B??＝ C?? (由式 ) ? B＝ C (由式 )學習要求 q 熟練掌握集合的子集、相等、空集、全集、冪集等概念及其符號化表示 q 熟練掌握集合的交、并、（相對和絕對）補、對稱差、廣義交、廣義并的定義及其性質(zhì) q 掌握集合的文氏圖的畫法及利用文氏圖解決有限集的計數(shù)問題的方法 q 牢記基本的集合恒等式（等冪律、交換律、結(jié)合律、分配律、德 摩根律、收律、零律、同一律、排中律、矛盾律、余補律、雙重否定律、補交轉(zhuǎn)換律） q 準確地用邏輯演算或利用已知的集合恒等式或包含式證明新的等式或包含式
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