【文章內(nèi)容簡介】 0 故關(guān)于 X和 Y的邊緣分布律分別為： X 1 0 Y 1 0 P 3/10 7/10 P 1/2 1/2 3/10 7/10 1/2 1/2 X Y 1 0 1 0 1/10 2 /104 /10 3/10是否相互獨(dú)立？ 求出相關(guān)系數(shù)？ ??? ?????其它,00,0,),(~),( )32( yxAeyxfYX yx例 求： (1)常數(shù) A；（２） P(1X1,1Y1) 解 (1)由歸一性 6?? A? ? ? ???? ? ? ?－ － ( 2 x + 3 y )00f ( x , y ) d x d y = A e d x d y = 1(2) (1,1)F0AA d x? ? ? ?? ? ? ?0 ( 2 x + 3 y ) 2 x 3 y00A e d x d y = e e d y =61111( 2 ) ( 1 1 , 1 1 ) ( , )P X Y f x y d x d y??? ? ? ? ? ? ? ??11 ( 2 3 )00 6xye d x d y??? ?? 23(1 ) (1 )ee??? ? ?1 1( , )f x y d x d y????? ?? 11 ( 2 3 )00 6xye d x d y??? ??1 1 D 4．隨機(jī)變量 X與 Y獨(dú)立且均服從正態(tài)分布 求 2N(0,a )??P {X + Y a}, ( a 0)若 Xi服從 n維正態(tài)分布 N(181。i,σi2), Xi相互獨(dú)立， i=1,2,…,n. 則 21 1 1~ ( , )n n ni i ii i iZ X N ??? ? ?? ? ? ?2, ~ ( 0 , )X Y N a 2~ ( 0 , 2 )X Y N a??且 X與 Y獨(dú)立 ??P {X + Y a } ?1 P { X + Y a}01)2aa? ??? (( , )XY??? ????他其,010,6),( yxxyxf,XY3/1?X Y )3/1( ?xyfXY( 1 )P X Y??設(shè)二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合密度函數(shù) 求（ 1） 的邊緣密度函數(shù)； 時(shí)， 的條件密度函數(shù) （ 3） （ 2）當(dāng) 1( ) 6 6 ( 1 )X xf x x d y x x? ? ??6 ( 1 ) 0 1()0Xx x xfx ? ? ????? 其他01x??(1) 當(dāng) 時(shí) 故 20( ) 6 3yYf y x d x y???23 0 1() 0Y yyfy ? ??? ?? 其他01y??當(dāng) 時(shí)， 故 113 y?? (2) 當(dāng) 1 13 y??1( , )133( | )132()3YXfyf y Xf? ? ? (2) 當(dāng) 時(shí) , 66 (1 )xxx?31 11( | )233 0Yyf y X? ???????? 其他 (3) 1 / 2 1 1 / 2001( 1 ) 6 6 ( 1 2 )4xxP X Y x d x d y x x d x?? ? ? ? ? ?? ? ?. ??? ????他其,010,6),(yxxyxf第三章、隨機(jī)變量的數(shù)字特征 考試要求 理解隨機(jī)變量數(shù)字特征 (數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù) )的概念，并會(huì)運(yùn)用數(shù)字特征的基本性質(zhì)計(jì)算具體分布的數(shù)字特征。 會(huì)根據(jù)隨機(jī)變量的概率分布求其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 。會(huì)根據(jù)二維隨機(jī)變量的概率分布求其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 . 掌握二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布和指數(shù)分布和正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望和方差 第四章、大數(shù)定理和中心極限定理 考試要求 掌握利用切比雪夫不等式的概率計(jì)算。 會(huì)利用隸莫弗 — 拉普拉斯定理和獨(dú)立同分布的中心極限定理近似計(jì)算。 數(shù)學(xué)期望－－描述隨機(jī)變量取值的平均特征。 ????1)(kkk pxXE ?????? dxxxfXE )()(1） (0,1)分布的數(shù)學(xué)期望： E(X)=p； D(X)=p(1p) 2) 若 X?B(n,p),則 E(X)=np； D(X)=npq 3) 若 X?P(λ)，則 E(X)=λ； D(X)=? ,.....2,1,0!}{ ????kkekXPk ??.,. .. .,2,1,0}{ nkqpCkXP knkkn ??? ?方差 衡量隨機(jī)變量取值 波動(dòng)程度（穩(wěn)定性） 。 （ 1） D(X)=E[XE(X)]2； (2) D(X)=E(X2)[E(X)]2 1).若 X?U(a,b),則 E(X)=(a+b)/2. 2). 若 X?N(181。,σ2)，則 E(X)=μ； 3).若 X服從指數(shù)分布 ，則 E(X)=1/?。 0() 00xexfx x?? ?? ?? ? ??2)() 1 .( 2baDX ??2 .()DX ??2 .1()DX??數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) (1) C為常數(shù) ,則有 E(C)=C； (2) 設(shè) C常數(shù)，則 E(CX)=CE(X)； (3) E(X177。 Y)=E(X) 177。 E(Y) )()()()( 2121 nn XEXEXEXXXE ??????? ??(4) X， Y相互獨(dú)立 ， 有 : E(XY)=E(X)E(Y) 相互獨(dú)立。nnnXXXXEXEXEXXXE,)()()()(212121??? ????方差的性質(zhì) 假定以下所遇到的隨機(jī)變量的方差存在 : (1) 設(shè) C是常數(shù)，則 D(C)=0； (2) 設(shè) X是隨機(jī)變量， a是常數(shù)，則 D(aX)=a2D(X), 進(jìn)一步有： D(aX+b)=a2D(X)； (3) 設(shè) X， Y是兩個(gè) 相互獨(dú)立 的隨機(jī)變量，則有D(X?Y)=D(X)+D(Y)； 推廣 : 相互獨(dú)立。nniinii XXXXDXD ,)()( 2111??????（ 4） D(X?Y) ()DX? ()DY? [ 2 ( ) 2 ( ) ( ) ]E XY E X E Y??協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的定義 ： Cov(X， Y)= E{[XE(X)][YE(Y)]}. 而當(dāng) D(X)0, D(Y)0時(shí)， 稱為隨機(jī)變量 X與 Y的 相關(guān)系數(shù)： )()(),(YDXDYXCovXY ???)]()()([21),( YDXDYXDYXCo v ????)()()( YEXEXYE ???)()( YDXDXY ??? ?1)用定義求： (2)用公式： 例 1．設(shè) X的密度函數(shù)為： ?????? ? xexf x －，323)(|| XY ? 且 ， 求 E(X)和 E(XY) ( ) ( )E X x f x d x????? ? 332xx e d x?? ??????33()2xf x e ???? ()fx? 所以 xf(x) ＝ 0 ()E XY ? ( ) ( )x y f x d x?????0 332xx e d x????? 3032xx e d x?? ????( ) ( )x x f x d x????? ?是奇函數(shù)， ＝ 0 例 2：設(shè)隨機(jī)變量 X的分布律為 解 : 求隨機(jī)變量 X和 Y=X2的數(shù)學(xué)期望 X Pk 1 0 1 313131Y Pk 1 0 31322 2 1 2( ) ( ) 1 03 3 3E Y E X? ? ? ? ? ? ?1 1 1( ) 1 0 1 03 3 3EX ? ? ? ? ? ? ? ?X Z)1,0(~ UX ),0(~ UZ ZXY ?? ( ) , ( ) , XYE Y D Y ?( ) , ( ) 1 / 12 ,( ) , ( ) 1 / 300 ,( ) ( ) ( ) ( ) ,( ) ( ) ( ) ( ) 13 / 150 ,( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) 0 ( ) ,( ,