【文章內容簡介】 x2，當 x1x2時，都有 f(x1)f(x2)，那么就說 f(x)在區(qū)間 D 上是增函數 .區(qū)間 D 稱為 y=f(x)的單調增區(qū)間 . 如果對于區(qū)間 D 上的任意兩個自變量的值 x1， x2，當 x1x2 時，都有 f(x1)＞ f(x2)，那么就說 f(x)在這個區(qū)間 上是減函數 .區(qū)間 D 稱為 y=f(x)的單調減區(qū)間 . 注意：函數的單調性是函數的局部性質； （ 2） 圖象的特點 如果函數 y=f(x)在某個區(qū)間是增函數或減函數，那么說函數 y=f(x)在這一區(qū)間上具有 (嚴格的 )單調性，在單調區(qū)間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的 . (3).函數單調區(qū)間與單調性的判定方法 (A) 定義法： ○ 1 任取 x1， x2∈ D，且 x1x2 ； ○ 2 作差 f(x1)－ f(x2)； ○ 3 變形（通常是因式分解和配方）； ○ 4 定號（即判斷差 f(x1)－ f(x2)的正負）； ○ 5 下結論（指出函數 f(x)在給定的區(qū)間 D 上的單調性）． (B)圖象法 (從圖象上看升降 ) (C)復合函數的單調性 復合函數 f[g(x)]的單調性與構成它的函數 u=g(x)， y=f(u)的單調性密切相關，其規(guī)律：“同增異減” 注意：函數的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調性相同的區(qū)間和在一起 寫成其并集 . 上的單調性 . 證明：在 (0， +∞ )上任取 x x2(x1≠ x2)， 令△ x=x2x1＞ 0 則 ∵ x1＞ 0， x2＞ 0，∴ ∴上式＜ 0，∴△ y=f(x2)f(x1)＜ 0 ∴ 上遞減 . 總結升華： [1]證明函數單調性要求使用定義； [2]如何比較兩個量的大??？ (作差 ) [3]如何判斷一個式子的符號？ (對差適當變形 ) 瘋狂國際教育（內部） 11 舉一反三： 【變式 1】用定義證明函數 上是減函數 . 思路點撥：本題考查對單調性定義的理解，在現階段，定義是證明單調性的唯一途徑 . 證明：設 x1， x2 是區(qū)間 上的任意實數，且 x1＜ x2，則 ∵ 0＜ x1＜ x2≤ 1 ∴ x1x2＜ 0， 0＜ x1x2＜ 1 ∵ 0＜ x1x2＜ 1 故 ，即 f(x1)f(x2)＞ 0 ∴ x1＜ x2 時有 f(x1)＞ f(x2) 上是減函數 . 總結升華：可以用同樣的方法證明此函數在 上是增函數；在今后的學習中經常會碰到這個函數，在此可以嘗試利用函數的單調性大致給出函數的圖象 . 2. 判斷下列 函數的單調區(qū)間； (1)y=x23|x|+2； (2) 解： (1)由圖象對稱性，畫出草圖 瘋狂國際教育（內部） 12 ∴ f(x)在 上遞減，在 上遞減，在 上遞增 . (2) ∴圖象為 ∴ f(x)在 上遞增 . 3. 已知函數 f(x)在 (0， +∞ )上是減函數，比較 f(a2a+1)與 的大小 . 解： 又 f(x)在 (0， +∞ )上是減函數，則 . 2．函數的奇偶性（整體性質） （ 1）偶函數 一般地，對于函數 f(x)的定義域內的任意一個 x，都有 f(－ x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函 數． （ 2）．奇函數 一般地，對于函數 f(x)的定義域內的任意一個 x，都有 f(－ x)=— f(x)，那么 f(x)就叫做奇函數． （ 3）具有奇偶性的函數的圖象的特征 偶函數的圖象關于 y 軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱． 利用定義判斷函數奇偶性的步驟： 瘋狂國際教育（內部） 13 ○ 1 首先確定函數的定義域，并判斷其是否關于原點對稱； ○ 2 確定 f(－ x)與 f(x)的關系； ○ 3 作出相應結論：若 f(－ x) = f(x) 或 f(－ x)－ f(x) = 0，則 f(x)是偶函數；若 f(－ x) =－ f(x) 或 f(－ x)＋ f(x) = 0，則 f(x)是奇函數． 注意：函數定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件．首先看函數的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數 .若對稱， (1)再根據定義判定 。 (2)由 f(x)177。 f(x)=0 或 f(x)／f(x)=177。 1 來判定 。 (3)或借助函數的圖象判定 . ： (1) (2) (3)f(x)=x24|x|+3 (4)f(x)=|x+3||x3| (5) (6) (7) 思路點撥：根據函數的奇偶性的定義進行判斷 . 解： (1)∵ f(x)的定義域為 ，不關于原點對稱，因此 f(x)為非奇非偶函數； (2)∵ x1≥ 0，∴ f(x)定義域 不關于原點對稱，∴ f(x)為非奇非偶函數； (3)對任意 x∈ R，都有 x∈ R，且 f(x)=x24|x|+3=f(x)，則 f(x)=x24|x|+3 為偶函數 ； (4)∵ x∈ R， f(x)=|x+3||x3|=|x3||x+3|=f(x)，∴ f(x)為奇函數； (5) ，∴ f(x)為奇函數； (6)∵ x∈ R， f(x)=x|x|+x ∴ f(x)=(x)|x|+(x)=x|x|x=f(x)，∴ f(x)為奇函數； (7) ，∴ f(x)為奇函數 . 2. 設定義在 [3， 3]上的偶函數 f(x)在 [0， 3]上是單調遞增，當 f(a1)＜ f(a)時，求 a 的取值范圍 . 解：∵ f(a1)＜ f(a) ∴ f(|a1|)＜ f(|a|) 而 |a1|， |a|∈ [0， 3] 瘋狂國際教育（內部） 14 . 函數的解析表達式 （ 1）函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域 . （ 2）求函數的解析式的主要方法有： 湊配法 待定系數法 換元法 消參法 1. 求函數的解析式 (1)若 f(2x1)=x2，求 f(x)； (2)若 f(x+1)=2x2+1，求 f(x). 思路點撥：求函數的表達式可由兩種途徑 . 解： (1)∵ f(2x1)=x2，∴令 t=2x1，則 ； (2)f(x+1)=2x2+1，由對應法則特征可得： f(x)=2(x1)2+1 即： f(x)=2x24x+3. 舉一反三： 【變式 1】 (1) 已知 f(x+1)=x2+4x+2，求 f(x)； (2)已知： ，求 f[f(1)]. 解： (1)(法 1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)1 ∴ f(x)=x2+2x1； (法 2)令 x+1=t，∴ x