【文章內(nèi)容簡介】 ???????kktikkkkkkeWtC?從而 的躍遷幾率為 )( kkk ???? ?? ? .2)(2)(s i n4)()( 22222)1(?????????????kkkkkkkkkktWtCtP?利用公式 )(s inlim 22xx x ???? ????上式可以寫為 ),2/)((4)( 22 ???? ?? ? ? ??? kkkkkk WttP ???t可以發(fā)現(xiàn)，當 時， 有一極大值（見下圖） kk ?? ?? )(tPkk?右圖為 t 足夠長時 幾率的變化情況： ? ?? ? .2)(2)(s in22????????kkkk tkk????可以發(fā)現(xiàn)，當時間 充分長以后，只有 的入射光對 的躍遷有 明顯貢獻。這種吸收叫共振吸收。 tkk ??? ~ kk EE ??而躍遷速率為 kkkk Ptw ?? ? dd)(2 202 ???? ??? ?? kkkk ED ???),(c os2 22022 ????? ?? ?? kkkk ED ???)(2 22 ?????? ?? kkkkW?式中 是 與 的夾角。 ?kkD??0E?如入射光 是非偏振光 ，光偏振的方向是完全 無規(guī)的，此時可把 換為它對空間各方向 的平均值，即 ?2cos? ????? 22 c o sd41c o s,31dc oss i nd4 1 20 0 2 ??????? ? ?? ?所以 ),(6 2022 ???? ?? ??? kkkkkk EDw???這里 是角頻率 的單色光的電場強度值。 0E? ?問題解答 在光的吸收理論中討論微擾項時，我們說到 原子中電子的速度 ，故磁場對電子的作 用遠小于電場對電子的作用 ， 即 cv ??,1~/ ??? cveEBvce其中光速 c 的出現(xiàn)是高斯單位制的緣故。 有的同學問，高斯單位制下電場力公式中為 何無 c？ 原因（見電動力學）： 高斯單位制下洛侖茲力的表達式 )( BcvEqF ???????但高斯單位制下 3rrqE ?? ?? ?? 39。d)39。( 3 Vcr rxJB???即公式本身就相差一個常數(shù) c，故造成了 )( BcvEqF ???????從而有 1~/ ??? cveEBvce ﹟ 上次課復(fù)習 能量時間測不準關(guān)系 tE ??? ,2? ~ 代入躍遷振幅的一級微擾公式，有 .112)()()()1(39。 ????????????????????????????kktikktikkkkkkkk eeWtC?tWtEDH ?? coscos39。? 0 ???? ??對光的吸收和受激輻射，將微擾 當 k → k’， ，且 時間較長時，出現(xiàn)共振吸收現(xiàn)象。躍遷幾率公式為 kk 39。~ ??),2/)((4)( 22 ???? ?? ? ? ??? kkkkkk WttP ???t),(c o s2 2202239。 ????? ?? ?? kkkkkk EDw ???躍遷速率為 對單色非偏振光，有 ),(6 2022 ???? ?? ??? kkkkkk EDw???但自然界中不存在嚴格的單色光，只不過 有的光單色性比較好，如激光。 對自然光引起的躍遷，要對上式中各種成分的貢獻求和。 令 表示 角頻率為 的電磁場的能量密度 。 )(?? ??????? ??? 2T對時間求平均，周期??? T ttTEE 0 2202 c o sd14)(41 ??????).(81 20 ?? E??利用 )(8 1)( 22 BE ?? ?? ???可將 換為 ，就得出非偏振自然光引起的躍遷速率 , 代入 20E? ? )(8 ????d),(6 2022 ???? ?? ??? kkkkkk EDw???).(8 1)( 20 ???? E??由上式 )(34 222kkkkkk Dw ??? ? ??? ??).(34 2222kkkkre??? ??? ??有 從上式可以看出： ① 躍遷快慢與入射光中角頻率為 的光強 度 成比例。 kk??)( kk???② 躍遷速率還與 成比例，即與初末態(tài)的 性質(zhì)相關(guān)。 2kkr ??).(34 222239。 kkkkkk rew??? ??? ??對 下面舉例予以介紹。 ﹟ 設(shè) ,)(, ln l mk ???? 宇稱原子初態(tài)：首先考慮到 為奇宇稱算符，對于 ， 只有當 宇稱 時才可能不為零。 r?????kkr?由此得出電偶極輻射的 宇稱選擇定則 ： 宇稱： 改變 其次考慮 角動量的選擇定則 。 三、 電偶極輻射選擇定則 .)(, lmlnk ???? ?????? 宇稱：原子末態(tài)？ 利用基本公式 )(s i n2c oss i n ??? ?????? ii eerrx?? c o srz)(s i n2s i ns i n ??? ?????? ii eeirryl j mrrmjl ||39。39。39。?在具體計算 的矩陣元時，需要求解因子 kkr?即求解 的矩陣元，分析上述 基本公式，可知下面的遞推公式是重要的 (見曾謹言 《 習題精選與剖析 》 相關(guān)內(nèi)容 )： rzryrx //,/ 和,)12)(12()32)(12()1(c os,122,122mlmllmYllmlYllmlY????????????,)12)(12()1)(()32)(12()2)(1(s i n1,11,1???????????????????mlmllmiYllmlmlYllmlmlYe??再根據(jù)球諧函數(shù)的正交性，可以知道，只當 ,1??? ll 1, ??? mmmkkr?時， 才可能不為 0。 由此得電偶極輻射的 角動量選擇定則 ： ,1?????? lll .1,0 ?????? mmm.1,0。1,01?????????jmjl改變宇稱以上未考慮電子自旋。 可以證明，電偶極輻射的選擇定則為 (見曾書 《 習題精選與剖析 》 相關(guān)內(nèi)容 ) 在考慮電子自旋及旋軌耦合作用后 ,電子狀態(tài)用好量子數(shù) nljmj來描述。 ﹟ 自發(fā)輻射的 Einstein理論 前面提過 ,在非相對論量子力學理論框架內(nèi)是 無法解釋原子的自發(fā)輻射現(xiàn)象的。 Eintein曾提出一個很巧妙的半 唯象理論 來說 明原子的自發(fā)輻射現(xiàn)象。 如初始時原子處于某一定態(tài) ,則原子將保持在 該定態(tài) ,不會躍遷到較低能級去。 因為此時 Hamilton量是守恒量 －－借助于物體與輻射場達到平衡時的熱力學理論。 一、受激輻射和吸收系數(shù) 按照上節(jié)的討論 ， 在 強度為 的光 的照射 下，原子從 態(tài)到 態(tài)的躍遷速率可表為 )(??k k?)( kk EE ??設(shè)),( kkkkkk Bw ??? ? ??其中 222234kkkk reB?????稱為吸收系數(shù)。 與此類似，對于從 態(tài)的受激輻射，躍遷速率也可以表成 kk ??),( kkkkkk Bw ??? ? ??其中 222234kkkk reB?????稱為受激輻射系數(shù)。 由于 為厄米算符，所以 r,kkkk BB ?? ?即受激輻射系數(shù)等于吸收系數(shù)，它們都與入 射光強度無關(guān)。 二、自發(fā)輻射和自發(fā)輻射系數(shù)的給出 現(xiàn)在用熱力學與統(tǒng)計物理的知識來處理這個 問題。 設(shè)處于平衡態(tài)下體系的絕對溫度是 分別為處于能級 上的原子數(shù)目。 kknnT ?和,kk EE ?和lea ll ???????可知 ,/)( kTkTEEkk kkkk eenn ?? ??? ?? ?式中 為 Boltzman常數(shù)。 k粒子數(shù) （正常情況下， ）。 顯然，對于 ， kk EE ??kk nn ?? kk nn ??由 Boltzman分布律 ),()( kkkkkkkkkk BnBn ????? ?????,kkkk BB ?? ?39。kk nn ?由 及 得 吸收粒子數(shù) 輻射粒子數(shù) 故只有受激輻射無法與吸收過程達到平衡。 根據(jù)平衡的要求，必須引進自發(fā)輻射。由于 ，必須在上式右邊再加上一項，使體 系能達到平衡 kknn ??? ?,)()( kkkkkkkkkkkk ABnBn ?????? ??????稱為自發(fā)發(fā)射系數(shù) . kkA ?的照射下，單位時間內(nèi)原子從 態(tài)的 躍遷幾率 。 kk ??態(tài))( kk EE ??它表示在沒有外界光 平衡方程 ? ?,)()( kkkkkkkkkkkk ABnBn ?????? ??????左邊是單位時間內(nèi) 躍遷的原子數(shù)目 (通過吸收 )，右邊則是單位時間內(nèi)從 躍遷的原子數(shù)目 (通過受激輻射與自發(fā)輻射 )。 39。kk EE ?kk EE ?39。利用上面所得到的三個方程 ? ?,)()( kkkkkkkkkkkk ABnBn ?????? ??????,/ kTkk kkenn ??? ? ?,kkkk BB ?? ?聯(lián)立可得 1/1)(39。39。39。39。 ????kkkkkkkk nnBAkkkkkk kTBA39。39。39。??11/39。39。39。 ?? ? kTkkkkkkeBA???T我們知道，在溫度極高的情況下，有大量原 子處于激發(fā)能級，物體可以吸收和發(fā)射各種 頻率的輻射，接近于完全黑體。 kTc 322)( ?????上式與式 ??? )( 39。kkkkkkkk kTBA39。39。39。??比較，得 32339。39。39。cBA kkkkkk??? ?kkkT 39。??? ?此時 ，可以用 RayleighJeans公式 來描述與黑體達到平衡時的輻射場的強度分 布，即 而 222234kkkk reB?????所以