工學(xué)]第二十一章原子的量子理論(編輯修改稿)
2025-02-08 12:53 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 x?? y x?x ?電子束 ? xpp?p?因此有 x 方向動(dòng)量的不確定 量 ?s i n 0 pp x? ? 代入單縫衍射公式，得 由德布羅意關(guān)系式 ，得 ?hp ?表明： x 方向上坐標(biāo)與動(dòng)量不可能同時(shí)有確定的數(shù)值，稱(chēng)為 海森伯不確定關(guān)系 。 考慮到存在次級(jí)衍射，則 xpp x ??? ? ?s i n pp x? ? hpx x ???? 推廣至三維空間，有 海森伯不確定關(guān)系 2. 在不確定關(guān)系中，普朗克常量 h 是一個(gè)關(guān)鍵的量，它是一個(gè)極小的量，因此，不確定關(guān)系在宏觀世界不能得到直接的體現(xiàn)。 1. 粒子在客觀上不能同時(shí)具有確定的坐標(biāo)位置和相應(yīng)的動(dòng)量，這是粒子具有波粒二象性的反映。 二 . 不確定關(guān)系的意義 hpx x ??? hpy y ??? hpz z ???? ? ? ? 電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn) 電子槍 集電器 1 2 強(qiáng)度分布 電子雙縫干涉圖像 例題 211 原子中電子運(yùn)動(dòng)速度為 106 m/s，原子半徑約為 10 10 m，電子位置的不確定量至少為 1011m，即 由不確定關(guān)系可得 m 10 11??? x 7113134???? ????? ???xmhxv 結(jié)果表明，原子中電子運(yùn)動(dòng)速度的不確定量大于速度本身，顯然 原子中電子的運(yùn)動(dòng)的研究必須應(yīng)用量子力學(xué)理論 。 例題 212 質(zhì)量為 1 g 的物體，當(dāng)測(cè)量其重心位置時(shí)，不確定量不超過(guò) 106 m，即 由不確定關(guān)系可得 m 10 6??? x 256334???????????? xm hxv 結(jié)果表明，由宏觀物體的波粒二象性引起的速度的不確定量已遠(yuǎn)小于可能達(dá)到的測(cè)量精度之外，顯然 用經(jīng)典力學(xué)方法處理宏觀物體的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題已經(jīng)足夠準(zhǔn)確了 。 自由粒子的德布羅意波是平面波，有 一 . 自由粒子的波函數(shù) 頻率為 v 、波長(zhǎng)為 λ、振幅為 a 、 初相為 的沿 x 軸正向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)為 ?])(π2c o s [ ?? ???? xvtahEvph ?? ?167。 215 粒子的波函數(shù) 薛定諤方程 )(π2i])(π2[i ee ??? xvtxvt AaΨ ????? ??表示為復(fù)數(shù)形式，且令 ，得 ?ie ??A)(π2ie EtpxhAΨ ?? 因此能量為 E、動(dòng)量為 p、沿 x 軸正向運(yùn)動(dòng)的自由粒子的波函數(shù)為 或?qū)憺? EthiΨ π2e ?? ?其中振幅函數(shù)（波函數(shù)） pxhiA π2e??二 . 薛定諤方程 將自由粒子的振幅函數(shù) 對(duì) x 求導(dǎo)得 EthiΨπ2e ?? ???? 22222222)(π4π4 vmhphx??????0π8 k2222???? ?? Ehmx自由粒子的薛定諤振幅方程 k2 2)( mEm ?v粒子的動(dòng)能為 Ek，則 ，得 推廣至三維情況得 在有勢(shì)力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子還有勢(shì)能 Ep，將自由粒子所滿足的方程中作代換 Ek= E Ep ，則得 0)(π8 p2222????? ?? EEh mx運(yùn)動(dòng)粒子的薛定諤（振幅）方程 0)(π8 p22222222??????????? ???? EEh mzyx 薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程，它的正確性在于它所給出的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)符合。 在空間體積元 dV中找到粒子的概率與 成比例 。 Vd2?表示在整個(gè)空間找到粒子的概率等于 1 。 1. 在所考慮的整個(gè)空間內(nèi)，函數(shù) 必須是 ?單值、有限和連續(xù)的 *2 ??? ? 2. 通常為使 代表空間某處單位體積內(nèi)找到粒子的概率，即概率密度，則波函數(shù)應(yīng)滿足歸一化條件，即 1d2 ??V V?三 . 波函數(shù)的物理意義 波函數(shù)應(yīng)滿足的條件： 表示在空間各處找到自由粒子的概率相同。 對(duì)于自由粒子，波函數(shù)為 則概率密度為 pxhiA π2e????? 22 * A???常數(shù) 薛定諤方程的局限性： ? 沒(méi)有反映電子的自旋； ? 不滿足相對(duì)論要求，高速粒子的運(yùn)動(dòng)要用相 對(duì)論量子力學(xué)； ? 沒(méi)有考慮到粒子的產(chǎn)生和湮滅問(wèn)題。 ? 電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn) 電子槍 集電器 電子雙縫干涉圖像 控制入射電子束的強(qiáng)度，可以觀察到波函數(shù)所描述的微觀粒子的空間概率分布特性。 Ep(x)= 0 0 x a ∞ x≤0， x≥a 在勢(shì)阱內(nèi) Ep=0， 薛定諤方程為 x Ep 0 a 由于金屬表面存在一個(gè)偶電層，使電子在金屬內(nèi)的電勢(shì)能較低，相當(dāng)于處于一個(gè)勢(shì)能 深阱中，稱(chēng)為勢(shì)阱。 理想的 一維 無(wú)限深勢(shì)阱 為 167。 216 一維無(wú)限深的勢(shì)阱 ? ?axEh mx ???? 0 0π8dd 2222 ??0)(d )(d 222?? xkx x ??222 π8hmEk ?令 ，方程化為 方程的通解為 kxCkxCx c o ss i n)( 21 ??? 由于在勢(shì)阱外找到粒子的概率為零，而波函數(shù)又是連續(xù)的，則有邊界條件 0)( ,0)0( ?? a??由
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