【文章內(nèi)容簡介】 ,0,1( ) 1( ) i 1 d ( ) e x p [ i ( ) ]e x p [ i ( ) ] 1( ) 1ta n b nanbnCtC t g n t C t ttC t g n??????????? ? ?? ? ? ? ?? ? ??????? ? ???( 一 階 近 似 )系統(tǒng)從 |b, n+1 態(tài)躍遷到 |a, n態(tài) 的幾率為 22( 1 ) 2 0, 20s in [ (( ) 2 ]( ) 4 ( ) 3() )antC t g n ????????47 ?系統(tǒng)受激吸收的幾率正比于光場的初始光子數(shù) ( n+1)，因此若初始光子數(shù)為零，原子就不會從下能級躍遷到上能級 ?共振吸收時， Ω=ω0，幾率最大。 2. 受激發(fā)射幾率和自發(fā)發(fā)射幾率 假定系統(tǒng)在初始 t=0時刻處在 |a, n 的狀態(tài)，即原子處于上能級而光場有 n個光子的狀態(tài) , , 1( 0 ) , ( 0 ) 1 , ( 0 ) 0Ia n b na n C C? ?? ? ??同理，對 ()式的第二式積分，且取一階微擾近似，有 48 , 1 , 00( 1 ) 0,10, ( ) 1( ) i 1 d ( ) e x p [ i ( ) ]1 e x p [ i ( ) ]( ) 1tb n a nbnanCtC t g n t C t ttC t g n??????????? ? ?? ? ? ???????? ? ???( 一 階 近 似 )系統(tǒng)從 |a, n 態(tài)躍遷到 |b, n+1態(tài) 的幾率為 22( 1 ) 2 0, 20s in [ (( ) 2 ]( ) 4 ( ) 4() )antC t g n ????????由于初始光場的光子數(shù)為 n，故上式右端可分為跟初始光場中 n個光子相關(guān)的部分和跟n個光子無關(guān)的部分，即 49 22( 1 ) 2 0, 2st022( 1 ) 2 0, 2sp0s i n [ ( ) 2]( ) 4() s i n [ ( ) 2]( ) 4(( ))anantC t g ntC t g????????? ?????????? ??()中第一式與初始光場的光子數(shù) n成正比，是 n個光子誘發(fā)的受激發(fā)射 (stimulated emission)幾率， n=0時該幾率為 0；第二式跟初始光場的光子數(shù)無關(guān)，即使初始光場處于光子數(shù)為 0的真空態(tài)，該項仍然存在，故屬于自發(fā)發(fā)射 (spontaneous emission)幾率。 50 ?初始光場的光子數(shù)相同的情況下，同一系統(tǒng)的受激發(fā)射幾率與受激吸收幾率相同，都是正比于初始光場的光子數(shù) ?自發(fā)發(fā)射幾率等于一個光子引發(fā)的受激發(fā)射幾率。自發(fā)發(fā)射在全量子理論中完全是自然出現(xiàn)的，這是因為量子場存在真空起伏，從而存在零點(diǎn)能，零點(diǎn)能對處于上能級的原子產(chǎn)生干擾，使其產(chǎn)生向下能級的躍遷，這個過程中能量守恒（反之不存在“自發(fā)吸收”過程，因為違背能量守恒）。而經(jīng)典電磁場不存在零點(diǎn)能，不能自然地解釋自發(fā)發(fā)射 ?共振發(fā)射時， Ω=ω0，所有躍遷過程幾率最大。 51 3. 自發(fā)發(fā)射 ()式的第二式表達(dá)的是一個模式上的自發(fā)發(fā)射幾率 。 所有模式 （ 頻率 ） 上總的自發(fā)發(fā)射幾率 ， 等于對各個模式上的自發(fā)發(fā)射幾率求和（ 頻率連續(xù)分布時 ， 對應(yīng)連續(xù)求和 ， 即積分 ） 。 體積 V內(nèi)從頻率 Ω～ (Ω+dΩ)之間的光頻范圍內(nèi)的模式數(shù)為 （ 已考慮到兩種偏振狀態(tài) ） 323 2 332d4 π dddd ( ) 2(2 π ) πk k kkcV k VNc???? ??? ?????? ?52 所有模式上總的自發(fā)發(fā)射幾率為 2( 1 )sp, tot a l ,sp2 222 02 2 30222002 3 20002( ) d ( )si n [ ( ) 2] d[ ( ) 2] πsi n [ ( ) 2]2d [ ( ) 2]π [ ( ) 2]antP C t Nt VgttctVg ttct ???? ??????? ? ???????????????????53 令 x=(Ωω0)t/2，考慮到被積函數(shù)中 (sinx/x)2是一個在 x=0 (即 Ω=ω0)附近的尖峰函數(shù)，且被積函數(shù)在 Ωω0的區(qū)域上積分貢獻(xiàn)近似為零，因此對被積函數(shù)中的 Ω2項取近共振近似 Ω=ω0并提出積分號之外。考慮到上式第三個等號右端積分的下限通常滿足 ω0t/21，為方便令 ω0t/2=∞ ，且利用公式 2s in( ) d πx xx??????54 22 0s p , t o t a l 32 π( 3 . 6 )VP g tc??最后求得所有模式上總的自發(fā)發(fā)射幾率為 把 2 2 20 0 0( ) sin , g D E k z E V????代入 ()式，對空間求平均（相當(dāng)于用 1/2代替 sin2kz），并且取近共振近似 Ω=ω0，得到 2 3 3sp ,to ta l 0 0 ( )π P D t c???55 （ 個人體會：在初始時刻 t≈ 0， ω0t/2 ≈ 0，則得到的結(jié)果只有 ()()式結(jié)果的一半 ） 2 3 3sp 0 0 π ( )W D c???單位時間內(nèi)的總自發(fā)發(fā)射幾率（即自發(fā)發(fā)射速率）為 56 4. 拉比強(qiáng)信號解 前面為了計算受激發(fā)射和受激吸收幾率，在微擾近似下求解 ()式，這種近似只適用于相互作用很微弱的情形。當(dāng)相互作用項很強(qiáng)時，就只能用非微擾方法求解。下面就用非微擾方法求拉比強(qiáng)信號解 , 0 , 1, 1 0 ,( ) i 1 e xp[ i ( ) ] ( )( ( ) i 1 e xp[ i ()) ] ( )a n b nb n a nC t g n t C tC t g n t C t??????? ? ? ? ? ???? ? ? ???57 對 ()式再次對時間求導(dǎo)，并且以原來的 ()式代入，可以得到 2, 0 , ,2, 1 0 , 1 , 1( ) i ( ) ( ) ( 1 ) ( )( ) i ( ) ( ) (( )1 ) ( )a n a n a nb n b n b nC t C t g n C tC t C t g n C t????? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ???()式是兩個常系數(shù)齊次微分方程，其特征方程是： s2+ps+q=0，對于第一個方程，p=i(Ωω0)，對于第二個方程， p=i(Ωω0)；對于兩個方程都有 q=g2(n+1)。先考慮 ()式的第一個方程，其特征方程的根是： 58 201 , 22204 i ( )i22( ) 4 ( 1 ) 2p p qsxx g n????? ? ? ? ??? ? ????? ? ? ??于是 ()式的第一個方程的通解為 1, 1 1 2 21 2 002 1 2( ) e xp ( ) e xp ( )[ e xp ( i ) e xp ( i ) ] e xp [ i ( ) 2][ si n c os ] e x i (p[ i ( ) 2) ],anC t F s t F s tF x t F x t tA x t B x tF F BtA F F??????? ? ? ? ?????????其 中59 同理，對于 ()式的第二個方程，只需把上面特征方程中的 p=i(Ωω0)換成 p=i(Ωω0)，其他求解過程完全一樣，總之 ()式的兩個方程的通解為： ,0, 1 0( ) [ s in c o s ] e x p [ i ( ) 2 ]( ) [ s in c o s ] e x p [ ( i ( ) 2 ]( 3 . 1 0 ) anbnC t A x t B x t tC t C x t D x t t?????? ? ? ???? ? ? ???()式把 ()式中四個系數(shù) A,B,C,D聯(lián)系起來。例如，把 ()式代入 ()式的第一個方程，即 , 1 0 ,i( ) e x p [ i ( ) ] ( )1b n a nC t t C tgn??? ???60 可得 0,10e x p [ i ( ) 2 ]( ) [ i ( c o s sin )1 ( ) ( si n c os ) 2]bntC t x A x t B x tgnA x t B x t?????????? ? ?這樣，我們只需要系數(shù) A和 B來表達(dá)解 Ca, n (t)和 Cb, n+1 (t)。 上述解是 ()式的嚴(yán)格解析解，適用于任何情形，而前面的微擾解只適用于弱信號情形，這里的解可用于分析拉比強(qiáng)信號解，其中的常數(shù) A, B由系統(tǒng)的初始條件確定。當(dāng)輻射場與原子共振時， Ω=ω0，上述解化簡為 61 ,00,10,1( ) [ si n c os ] e xp[ i ( ) 2]e xp[ i ( ) 2]( ) [ i ( c os si n )1 ( ) ( si n c os ) 2]( ) si n c os1( ) [ i ( c os si n ) ]1anbnanbnC t A x t B x t ttC t x A x t B x tgnA x t B x tC t A x t B x tC t x A x t B x tgn????????? ? ? ? ??????????? ? ?????????????220( ) 4 ( 1 ) 2 ( 1 )x g n x g n??? ? ? ? ? ??于是有 62 1. 假設(shè)系統(tǒng)初始時刻 t=0處于下能級、光場有 (n+1)個光子，即 22, , 1( 0 ) 0 , ( 0 ) 1 0 , 1a n b nC C B A? ??? ? ?,1( ) si n( 1 ) c os( 1 )( ) i c os( 1 ) i si n( 1 )( )anbnC t A g n t B g n tC t A g n t B g n t?? ? ? ? ???? ? ? ???于是在任意時刻 t時，有 2 2,2 2,1 ,1( ) si n ( 1 )( ) si n( 1 )( ) i c os( 1 ) ( ) c os ( 1 )ananbn bnC t g n tC t g n tC t g n t C t g n t???? ??????????? ??????63 2. 假設(shè)系統(tǒng)初始時刻 t=0處于上能級、光場有n+1個光子，同理有 22 2,22 2, 1 , 1( 0) 1 ( ) c os ( 1 )( 0) 0 ( ) si n ( 1 )a n a nb n b nC C t g n tC C t g n t???? ? ? ??????? ? ? ????結(jié)論：在強(qiáng)信號作用下，當(dāng)輻射場與原子發(fā)生共振 Ω=ω0時 ，原子總是在上下兩個能級之間不斷地反復(fù)躍遷，躍遷的頻率正比于光場數(shù)的平方根，即輻射場越強(qiáng)，狀態(tài)的反轉(zhuǎn)越快。 64 激光器的庫理論 本節(jié)將講述激光器的全量子理論。為此需要對激光器建立一個簡化的等效模型 65 66 輻射場 原子系統(tǒng) 損耗機(jī)制 泵浦過程 原子與場相互作用 激光系統(tǒng) 環(huán)境 67 ?假定場為單模輻射場 ?假定原子是二能級的且是靜止的 ?假定場的振蕩頻率等于原子的中心頻率 ?把激光器中的輻射場作為研究對象，而把其他的一切看作是對場產(chǎn)生影響的背景條件（稱作“庫”），把庫對場產(chǎn)生的影響歸結(jié)為兩類：增益和損耗。因而庫可以等效地由位于上能級的