【正文】 1 , 1d ( 1 )d 1 ( 1 ) 1( ) ( 1 ) nnnn nnnn n nnAnAt n B A nB AC n C n??????????? ? ?? ? ?? ? ?當(dāng) nB/A1時(shí)，對(duì) ()式取近似 則 ()式變成 ()式。 82 實(shí)例：對(duì)于初始時(shí)刻 t0泵浦到上能級(jí) |a的 激活原子 ,假定它的壽命為 τ， 即平均來(lái)說(shuō)大約經(jīng)過(guò)時(shí)間 τ之后 ， 原子躍遷到下能級(jí) |b， 并發(fā)射一個(gè)光子到輻射場(chǎng)中 ， 使得原來(lái)的輻射場(chǎng)獲得了增益 。若光場(chǎng)和原子兩個(gè)系統(tǒng)獨(dú)立 ， 則總系統(tǒng)的密度算符 ， 等于兩個(gè)系統(tǒng)各自的密度算符之積： a f a f? ? ?? ? ??此時(shí)上述約化密度算符 ， 就等于光場(chǎng)的密度算符 。dinger圖像下的運(yùn)動(dòng)方程： 場(chǎng)與物質(zhì)密度算符的運(yùn)動(dòng)方程 a f a f?? ?i d d [ , ]S S StH???其中在 Schr246。先考慮 ()式的第一個(gè)方程，其特征方程的根是： 58 201 , 22204 i ( )i22( ) 4 ( 1 ) 2p p qsxx g n????? ? ? ? ??? ? ????? ? ? ??于是 ()式的第一個(gè)方程的通解為 1, 1 1 2 21 2 002 1 2( ) e xp ( ) e xp ( )[ e xp ( i ) e xp ( i ) ] e xp [ i ( ) 2][ si n c os ] e x i (p[ i ( ) 2) ],anC t F s t F s tF x t F x t tA x t B x tF F BtA F F??????? ? ? ? ?????????其 中59 同理，對(duì)于 ()式的第二個(gè)方程，只需把上面特征方程中的 p=i(Ωω0)換成 p=i(Ωω0)，其他求解過(guò)程完全一樣，總之 ()式的兩個(gè)方程的通解為： ,0, 1 0( ) [ s in c o s ] e x p [ i ( ) 2 ]( ) [ s in c o s ] e x p [ ( i ( ) 2 ]( 3 . 1 0 ) anbnC t A x t B x t tC t C x t D x t t?????? ? ? ???? ? ? ???()式把 ()式中四個(gè)系數(shù) A,B,C,D聯(lián)系起來(lái)。自發(fā)發(fā)射在全量子理論中完全是自然出現(xiàn)的，這是因?yàn)榱孔訄?chǎng)存在真空起伏，從而存在零點(diǎn)能，零點(diǎn)能對(duì)處于上能級(jí)的原子產(chǎn)生干擾，使其產(chǎn)生向下能級(jí)的躍遷，這個(gè)過(guò)程中能量守恒（反之不存在“自發(fā)吸收”過(guò)程，因?yàn)檫`背能量守恒）。 相互作用圖像下的相互作用能為 1a f 0 a f 0? ?a f a f(? ? ? ?( ) ( ) ( ) ? ? ? ? ?(9? ))ISSH t U t H U tH H g a a???? ???? ? ???在 相互作用圖像下， 利用系統(tǒng)定態(tài)哈密頓算符 的兩個(gè)本征態(tài) |a, n和 |b, n+1，可把系統(tǒng)的一般 態(tài)矢表示為 0?H40 把 ()式代入 ()式，可得書(shū)上 ()式 (作業(yè)：由 ()式推出證明()式 ），即下面的 ()式 00? ?af i ( ) i ( )? ? ? ? ?( ) [ ] ( 2. 20 )eeI ttH t g a a? ? ? ??? ? ? ???其中， ω0為二能級(jí)原子的共振躍遷頻率： 0 ( )ab? ? ???為便于推導(dǎo)，可對(duì) ()的第二式取它的原始表達(dá)式，再去掉不滿足能量守恒的項(xiàng)。 24 上下能級(jí)的本征態(tài)矢量 |a和 |b滿足正交歸一和完備性關(guān)系，例如 a|a= b|b=1, a|b= b|a=0。dinger圖像下的態(tài)矢和算符作如下幺正變換得到： 0?SH? SH?18 0010100? ?( ) e x p ( i )?( ) ( ) ( ) ( 1 .1 3 )? ? ? ?( ) ( ) ( )SISISU t H tt U t tF t U t F U t????? ??????????其中的幺正變換算符 是由 Hamiltonian算符的主要部分來(lái)定義 的時(shí)間演化算符，它同樣滿足前面給出的演化算符的一切性質(zhì)。不顯含時(shí)間的 Hamiltonian算符，在兩種圖像下是相等的，這是因?yàn)?Hamiltonian算符與時(shí)間演化算符是對(duì)易的 。dinger圖像 ?i ( ) ( ) . ) ( 1 1t H tt??? ??在該圖像中，體系的狀態(tài)矢量 |φ(t)是隨時(shí)間t演化的，其演化的方式遵守 Schr246。量子力學(xué)對(duì)微觀系統(tǒng)狀態(tài)及其運(yùn)動(dòng)規(guī)律存在三種等價(jià)的描述方式，稱之為圖像 (picture)，或表象，或繪景，它們是： 1． Schr246。 10? ( , )U t t8 由于概率守恒 φ(t1)|φ(t1)=φ(t0)|φ(t0)，且 0 0 1 1?0 1 0 1 0 0( ) ( ) ( ) ( )? ?( ) ( , ) ( , ) ( )t t t tt U t t U t t t? ? ? ??????1 0 1 0? ?( , ) ( , ) 1U t t U t t ?故 由于 Hamiltonian算符是厄米算符，由后面的()式，可以進(jìn)一步給出 ? ?1 0 1 0 1 0 1 0? 11 0 1 0? ? ? ?( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1? ?( , ) (),( )U t t U t t U t t U t tU t t U t t?? ???????9 0 0 0 0 0 01 1 0 010 0 1 1 0 1 1 00 1 1 0 0? ?( ) ( , ) ( ) ( , ) 1 ?( ) ( , ) ( )? ? ?( ) ( , ) ( ) ( , ) ((1, ) ? ?( , ) ( , ) (.4)( 1.)5)t U t t t U t tt U t t tt U t t t U t t U t tU t t U t t t???????????????? ??? ????時(shí)間演化算符還滿足以下性質(zhì) 滿足 ()式的算符成為幺正算符，它所代表的的變換稱為幺正變換（正交變換可看作是一種特殊的幺正變換） 10 1 1 0 02 2 1 1 2 1 1 0 02 2 0 0?( ) ( , ) ( )? ? ?( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( )?( ) ( , ) ( )t U t t tt U t t t U t t U t t tt U t t t??? ? ???? ??????????下面令 t1=t， t0=0，且采用簡(jiǎn)寫(xiě) ?( ) ( ) ( 0 )t U t???10? ? ?( , ) ( , 0) ( )U t t U t U t??把 由 2 0 2 1 1 0? ? ?( , ) ( , ) ( , () 1. ) 6 U t t U t t U t t?有 11 代入 Schr246。這種幺正變換不改變態(tài)矢內(nèi)積和力學(xué)量平均值，不改變算符之間的對(duì)易關(guān)系，因此不改變物理內(nèi)容，兩種圖像等價(jià)。dinger方程，且由 Hamiltonian算符中的相互作用項(xiàng)（微擾項(xiàng)）推動(dòng)；算符的演化遵從 Heisenberg方程，且由 Hamiltonian算符中的自由項(xiàng)推動(dòng) 22 以上三種圖像是對(duì)同一物理內(nèi)容的不同描述方式，在物理本質(zhì)上是相互等價(jià)的。 因此 |a和 |b在其自身表象下的矩陣表示為 10, 0( .1 )12ab? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?25 1. 上升算符和下降算符 定義上升算符 和下降算符 如下： ? ? 2201? ?, ( ) 0 00 00?(2?,.2( ) 0 1) 0abba????? ??? ? ?? ??? ? ?????? ? ?????????? ??? ?? ?, 0 ? ?, 0( )b a aa b b????? ????????26 即 上 升算符 把 下 能級(jí)本征態(tài) |b變?yōu)?上 能級(jí)本征態(tài) |a ， 下 降算符 則把 上 能級(jí)本征態(tài) |a變?yōu)?下 能級(jí)本征態(tài) |b 。 狀態(tài)演化方程的幾種解 使用迭代法求出 Ca, n (t)和 Cb, n+1(t)的各階近似解，也可以求出它們的強(qiáng)信號(hào)解，從而確定系統(tǒng)處于 態(tài) |a, n和 |b, n+1上的幾率 。 所有模式 （ 頻率 ） 上總的自發(fā)發(fā)射幾率 ， 等于對(duì)各個(gè)模式上的自發(fā)發(fā)射幾率求和（ 頻率連續(xù)分布時(shí) ， 對(duì)應(yīng)連續(xù)求和 ， 即積分 ） 。當(dāng)輻射場(chǎng)與原子共振時(shí)， Ω=ω0，上述解化簡(jiǎn)為 61 ,00,10,1( ) [ si n c os ] e xp[ i ( ) 2]e xp[ i ( ) 2]( ) [ i ( c os si n )1 ( ) ( si n c os ) 2]( ) si n c os1( ) [ i ( c os si n ) ]1anbnanbnC t A x t B x t ttC t x A x t B x tgnA x t B x tC t A x t B x tC t x A x t B x tgn????????? ? ? ? ??????????? ? ?????????????220( ) 4 ( 1 ) 2 ( 1 )x g n x g n??? ? ? ? ? ??于是有 62 1. 假設(shè)系統(tǒng)初始時(shí)刻 t=0處于下能級(jí)、光場(chǎng)有 (n+1)個(gè)光子，即 22, , 1( 0 ) 0 , ( 0 ) 1 0 , 1a n b nC C B A? ??? ? ?,1( ) si n( 1 ) c os( 1 )( ) i c os( 1 ) i si n( 1 )( )anbnC t A g n t B g n tC t A g n t B g n t?? ? ? ? ???? ? ? ???于是在任意時(shí)刻 t時(shí)，有 2 2,2 2,1 ,1( ) si n ( 1 )( ) si n( 1 )( ) i c os( 1 ) ( ) c os ( 1 )ananbn bnC t g n tC t g n tC t g n t C t g n t???? ??????????? ??????63 2. 假設(shè)系統(tǒng)初始時(shí)刻 t=0處于上能級(jí)、光場(chǎng)有n+1個(gè)光子，同理有 22 2,22 2, 1 , 1( 0) 1 ( ) c os ( 1 )( 0) 0 ( ) si n ( 1 )a n a nb n b nC C t g n tC C t g n t???? ? ? ??????? ? ? ????結(jié)論：在強(qiáng)信號(hào)作用下，當(dāng)輻射場(chǎng)與原子發(fā)生共振 Ω=ω0時(shí) ，原子總是在上下兩個(gè)能級(jí)之間不斷地反復(fù)躍遷，躍遷的頻率正比于光場(chǎng)數(shù)的平方根，即輻射場(chǎng)越強(qiáng)，狀態(tài)的反轉(zhuǎn)越快。 71 a f a f 0 a f 1 a f 1 1a f 1 a f 0 a f 2 a f 2 20101?? ? ?( ) ( ) [ ( ) , ( ) ] di1?? ? ?( ) ( ) [ ( )(, ( ) ] di5 .2 )I I I II I I Ittttt t H t t tt t H t t t? ? ?? ? ???????? ??????對(duì) ()式兩邊從初始時(shí)刻 t=t0開(kāi)始進(jìn)行關(guān)于時(shí)間的積分，便得到以下遞推關(guān)系 例如，把 ()式的第二式代入第一式右邊，得 1a f a f 0 a f 1 a f 0 1a f 1 a f 2 a f 2 2 120001 ?? ? ?( ) ( ) [ ( ) , ( ) ] di1 ? ?