【正文】 1 第 10章 場(chǎng)與物質(zhì)相互作用的量子理論 量子力學(xué)的三種圖像 輻射場(chǎng)與原子的相互作用 原子發(fā)射和吸收的躍遷幾率 激光器的庫(kù)理論 10. 6 激光的光子統(tǒng)計(jì) 2 處理激光問(wèn)題三個(gè)層次的理論 1．速率方程理論 2．半經(jīng)典理論 3．全量子理論 3 全量子力學(xué)方程 半經(jīng)典方程 速率方程 對(duì)泵浦和弛豫過(guò)程取平均 忽略掉所有的相位關(guān)系 用來(lái)研究激光線寬 、 強(qiáng)度的起伏 、 相干性 、 光子統(tǒng)計(jì)等 用來(lái)研究閾值條件 、 輸出功率等 (連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn) 、 脈沖運(yùn)轉(zhuǎn) 、 調(diào) Q激光器 ) 用來(lái)研究頻率牽引和推斥 、 粒子數(shù)的脈動(dòng) 、 相位鎖定 、 超短脈沖 、 相干光學(xué)瞬態(tài)過(guò)程等 三個(gè)層次理論之間的關(guān)系 量子力學(xué)的三種圖象 對(duì)同一個(gè)物理內(nèi)容，可以存在多種不同的數(shù)學(xué)描述方式，這些不同的描述方式是完全等價(jià)的。量子力學(xué)對(duì)微觀系統(tǒng)狀態(tài)及其運(yùn)動(dòng)規(guī)律存在三種等價(jià)的描述方式，稱(chēng)之為圖像 (picture)，或表象，或繪景，它們是： 1． Schr246。dinger圖像 2． Heisenberg圖像 3．相互作用 (Interaction)圖像 5 在量子力學(xué)中，可觀測(cè)量 不是力學(xué)量算符和態(tài)矢本身，而 是力學(xué)量的平均值及其概率分布， 它們 是隨時(shí)間演化的。如果把 力學(xué)量平均值和概率分布隨時(shí)間的演化，全都?xì)w之為態(tài)矢隨時(shí)間的演化，而力學(xué)量算符不隨時(shí)間演化，這種描述方式就是 Schr246。dinger圖像；反之，全都?xì)w之為 力學(xué)量算符隨時(shí)間的演化而態(tài)矢保持不變，得到 Heisenberg圖像；部分歸之為態(tài)矢變化，部分歸之為算符變化，則是相互作用圖像。 6 Schr246。dinger圖像 ?i ( ) ( ) . ) ( 1 1t H tt??? ??在該圖像中，體系的狀態(tài)矢量 |φ(t)是隨時(shí)間t演化的，其演化的方式遵守 Schr246。dinger方程 而力學(xué)量算符 不隨時(shí)間演化： 。力學(xué)量平均值 隨時(shí)間的演化由態(tài)矢來(lái)承載： ?F ?d d 0Ft ?? ?( ) ( ) ( )F t F t F t????7 令 1 1 0 0?( ) ( , ) ( ) ( 1 .2 ) t U t t t?? ?其中算符 把 t0時(shí)刻的態(tài) |φ(t0)變換成 t1時(shí)刻的態(tài) |φ(t1) ，稱(chēng)為 時(shí)間演化算符 ，它代表一個(gè)連續(xù)變換（ t0和 t1任意），把態(tài)矢隨時(shí)間變化而變化用一個(gè)變換算符的作用來(lái)體現(xiàn)。 10? ( , )U t t8 由于概率守恒 φ(t1)|φ(t1)=φ(t0)|φ(t0)，且 0 0 1 1?0 1 0 1 0 0( ) ( ) ( ) ( )? ?( ) ( , ) ( , ) ( )t t t tt U t t U t t t? ? ? ??????1 0 1 0? ?( , ) ( , ) 1U t t U t t ?故 由于 Hamiltonian算符是厄米算符，由后面的()式，可以進(jìn)一步給出 ? ?1 0 1 0 1 0 1 0? 11 0 1 0? ? ? ?( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1? ?( , ) (),( )U t t U t t U t t U t tU t t U t t?? ???????9 0 0 0 0 0 01 1 0 010 0 1 1 0 1 1 00 1 1 0 0? ?( ) ( , ) ( ) ( , ) 1 ?( ) ( , ) ( )? ? ?( ) ( , ) ( ) ( , ) ((1, ) ? ?( , ) ( , ) (.4)( 1.)5)t U t t t U t tt U t t tt U t t t U t t U t tU t t U t t t???????????????? ??? ????時(shí)間演化算符還滿足以下性質(zhì) 滿足 ()式的算符成為幺正算符，它所代表的的變換稱(chēng)為幺正變換（正交變換可看作是一種特殊的幺正變換） 10 1 1 0 02 2 1 1 2 1 1 0 02 2 0 0?( ) ( , ) ( )? ? ?( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( )?( ) ( , ) ( )t U t t tt U t t t U t t U t t tt U t t t??? ? ???? ??????????下面令 t1=t， t0=0，且采用簡(jiǎn)寫(xiě) ?( ) ( ) ( 0 )t U t???10? ? ?( , ) ( , 0) ( )U t t U t U t??把 由 2 0 2 1 1 0? ? ?( , ) ( , ) ( , () 1. ) 6 U t t U t t U t t?有 11 代入 Schr246。dinger方程，有 ? ? ?i ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 )U t H U tt??? ??由于 |φ(0)是任意的，故 ? ? ?i ( ) ( ) ( ) U t t H U t? ? ?代表能量算符的 Hamiltonian算符不顯含 t， ()式有以下形式解 1 0 1 0 ( )? ?( , ) e xp[ i ( ) ] ? ? ?( ) ( , 0) e xp( i )U t t H t tU t U t Ht? ? ? ???? ? ???12 Heisenberg圖像 在下面 ， Schr246。dinger圖像 和 Heisenberg圖像 下的態(tài)矢和力學(xué)量算符分別帶有上標(biāo) S和 H。 在Heisenberg圖像中 ， 力學(xué)量平均值隨時(shí)間的演化 ， 完全歸之于力學(xué)量算符隨時(shí)間的演化 ， 而態(tài)矢保持不變 。 對(duì)于 力學(xué)量平均值，有 ?? ?( ) ( ) ( )? ? ? ?( 0) ( ) ( ) ( 0) ( )S S S SS S S H H HF t F t F tU t F U t F t??? ? ? ?????13 1? 1?( 0) ( ) ( )? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )H S SH S SU t tF t U t F U t U t F U t? ? ???? ????????其中 分別是 Heisenberg圖像 下的態(tài)矢和力學(xué)量算符。不顯含時(shí)間的 Hamiltonian算符，在兩種圖像下是相等的，這是因?yàn)?Hamiltonian算符與時(shí)間演化算符是對(duì)易的 。 ?? ? ? ? ? ?( ) ( ( 1 .1 0 )) H S SH U t H U t H H? ? ?14 因此，對(duì) Schr246。dinger圖像下的態(tài)矢和力學(xué)量算符， 利用演化算符進(jìn)行幺正變換，可以得到 Heisenberg圖像下的 態(tài)矢和力學(xué)量算符。這種幺正變換不改變態(tài)矢內(nèi)積和力學(xué)量平均值，不改變算符之間的對(duì)易關(guān)系，因此不改變物理內(nèi)容，兩種圖像等價(jià)。 假設(shè)力學(xué)量算符不顯含 t，即 ?0SFt? ? ?利用 ()式， 有 ? ?? ? ? ? ? ? ?d d ( ) ( )H S SF t U t F U U F U t? ? ? ? ? ?15 我們有 ? ?? ? ? ? ? ?i , iSSU t H U U t U H? ? ? ? ? ? ?利用 ()式，即 ? ?? ? ? ??? ?1? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?d d ( ) i? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( 1 i ) [ ]? ? ? ? ? ?( 1 i ) [ ] ( 1 i ) [ , ] H S S S SS S S SH H H H HHSUUH H HF t U H F U U F H UU F U U H U U H U U F UF H H F F H???? ? ????????????16 (1d1? ? ?( ) [ , . 1 1] )di HHF t F Ht ?總之，在 Heisenberg圖像中，態(tài)矢不隨時(shí)間演化，而力學(xué)量算符是隨時(shí)間演化的， 其演化的方式遵守 Heisenberg方程。 于是，我們得到在 Heisenberg圖像下，力學(xué)量算符隨時(shí)間演化的 Heisenberg方程。 17 當(dāng)一個(gè)量子系統(tǒng)的 Hamiltonian算符可以分解成兩部分 ： 相互作用圖像 0? ? ? ( 1 .1 2 )S S SH H H ???其主要部分 不含時(shí)間（通常是自由部分），而微擾部分 只對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生較小的影響（通常是相互作用部分），這時(shí)就可以采用相互作用圖像。相互作用圖像下的態(tài)矢和算符（帶上標(biāo) I），可由 Schr246。dinger圖像下的態(tài)矢和算符作如下幺正變換得到： 0?SH? SH?18 0010100? ?( ) e x p ( i )?( ) ( ) ( ) ( 1 .1 3 )? ? ? ?( ) ( ) ( )SISISU t H tt U t tF t U t F U t????? ??????????其中的幺正變換算符 是由 Hamiltonian算符的主要部分來(lái)定義 的時(shí)間演化算符，它同樣滿足前面給出的演化算符的一切性質(zhì)。由 ()式中的第一式有 0? ()Ut0 0 0? ? ?i ( ) ( ) ( 1. 14 ) SU t t H U t? ? ?19 00?e x p [ i ] ( )? ? e x p [ i ( ) ] ( 0 )? e x p ( i ) ( 0 )I S SSSSSH t tH H tHt??????????0 0 0 000? ? ? ? ? ? ?[ , ] 0 [ , ] [ , ] 0? ? ? ?e x p ( i ) e x p ( i ) e x p [ i ( ) ]S S S S S S SSSH H H H H H HH t H t H H t??? ? ? ?? ? ? ??如果 Hamiltonian算符的主要部分和微擾部分對(duì)易，即有 則相互作用圖像下的態(tài)矢又可以表達(dá)為 20 利用 ()－ ()式以及 Schr246。dinger方程 0? ?i ( ) ( ) ( )S S S St H H tt??? ????不難驗(yàn)證，在相互作用圖像下，態(tài)矢和算符分別滿足以下方程（算符不顯含時(shí)間）： 由定義 () ，相互作用圖像下 Hamiltonian算符的微擾項(xiàng)與自由項(xiàng)分別為 10010 0 0 0 0? ? ? ?( ) ( ) ? ? ? ? ?( ) ( )(1 .1 5 )ISI S SH U t H U tH U t H U t H??? ?????????21 0?i ( ) ( ) d1? ? ?( ) [ ( ) , ]di( 1 .1 6 )I I II I It H ttF t F t Ht??????????? ???因此，在相互作用圖像下，態(tài)矢和算符都隨時(shí)間演化，其中態(tài)矢的演化遵從 Schr246。dinger方程，且由 Hamiltonian算符中的相互作用項(xiàng)（微擾項(xiàng)）推動(dòng)；算符的演化遵從 Heisenberg方程，且由 Hamiltonian算符中的自由項(xiàng)推動(dòng) 22 以上三種圖像是對(duì)同一物理內(nèi)容的不同描述方式，在物理本質(zhì)上是相互等價(jià)的。例如，在三種圖像中，算符之間的對(duì)易關(guān)系不會(huì)變，算符的平均值不會(huì)變，態(tài)矢之間的內(nèi)積不會(huì)變，測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系不會(huì)變，等等。如果對(duì)未微擾系統(tǒng)（ ）已經(jīng)有充分了解，加上微擾 之后，取相互作用圖像是合適的，此時(shí)算符的運(yùn)動(dòng)方程由未微擾系統(tǒng)的 Heisenberg方程來(lái)描述，它的解是熟悉的、已知的，而態(tài)矢量的運(yùn)動(dòng)方程只含一個(gè)影響較小的微擾算符，便于近似求解。 0? ?SSHH?? SH?23 輻射場(chǎng)與原子的相互作用 Schr246。dinger圖像下的 Hamiltonian算符 Eb Ea n?ω |b |a (n+1)?ω 單模輻射場(chǎng)與二能級(jí)原子構(gòu)成的系統(tǒng) 考慮由光場(chǎng)和原子共同組成的系統(tǒng)，其中原子是二能級(jí)的，上下能級(jí)本征態(tài)分別是 |a和|b，分別對(duì)應(yīng)能量本