【正文】 n=0時(shí)第 6項(xiàng)為 0， 即處于真空態(tài)|0的光場 ， 其 零點(diǎn)能不足以引起損耗原子的 “ 自發(fā)吸收 ” 。 21 , 1 1 , 121 , 1d( 1 ) ( 1 )d( 3) ( 1 ) nnn n nn n nnn n n nnA n B n C ntA n B n Cn?? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??100 ?系數(shù) B跟 A一樣 ， 與增益原子數(shù) λa成正比 ， 但是跟含 A的線性增益項(xiàng)相反 ， ()式中含系數(shù)B的項(xiàng)是非線性損耗項(xiàng) （ 跟粒子數(shù)平方成正比 ） ， 這是由原子增益飽和造成的非線性效應(yīng) 。 λa和λb分別代表單位時(shí)間內(nèi)注入的增益原子和損耗原子數(shù)量 ， 由 ()式知 A, B∝ λa, C∝ λb，故含系數(shù) A、 B的項(xiàng)跟增益原子數(shù)成正比 ，含系數(shù) C的項(xiàng)與損耗原子數(shù)成正比 。 90 光子數(shù)表象下輻射場密度矩陣元運(yùn)動(dòng)方程 用 |φ表示單模輻射場的態(tài)矢， |n (n=0,1,2…)表示輻射場的粒子數(shù)本征態(tài)，輻射場的密度算符（原子－輻射場系統(tǒng)的約化密度算符）及其在粒子數(shù)表象下的矩陣表示為（為方便計(jì)，把下標(biāo) f去掉） f? ? , ?( )nnm n m nFnm n F F? ? ? ? ????? ? ? ???? ????顯然 ρnn代表光場有 n個(gè)光子的概率 91 密度矩陣元隨時(shí)間的變化為 ?d d dd( 5 .1 9 )mn mntt? ??把 ()式代入上式右邊，并且利用 ()和()，以及 ??? ?1 , 1 1? ?1 , 1 1a n n n a n n nn a n n n a n n? ? ? ? ?? ? ? ? ?92 得到場的密度矩陣元的運(yùn)動(dòng)方程 1 , 1221 , 11 , 1d[ ( 2) 2 ]d2{ [ ( 1 ) 6( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ]84( ) ] }[ ( ) 2 ( 1 ) ( (1 ) ] 52.20)mnm n m nmnmnm n m nAm n m ntBm m n nm n m nCm n m n?????????????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?93 對角元 ρnn代表輻射場中有 n個(gè)光子的概率，對上面 ()式令 m=n，得到對角元 ρnn隨時(shí)間的變化為 1 , 1221 , 11 , 1d[ ( 1 ) ]d ( 1[ ( 1 ) ] [ ( 1 ) ] ) nnnn n nnn n nnn n nA n ntB n nC n n?????????????? ? ? ?? ? ?? ? ?以上給出的是微擾近似解。 2 2 4 4f G 0 0? ? ?0 f 0 f 0 f 04 4 ( 4 )0 a a f 0? ??( ) ( 1 2 ) ( ) ( 1 2 4 ) ( )? ? ? ?? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) 2 ( )? ?( ) (( 5 .1 3 )2 4 ) tr [ ( ) ]g X t g Y tX t a a t t a a a t aY t g t? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ???????把書上 ()－ ()代入上式 ， 可得從 t=t0到 t=t0+τ時(shí)刻 ， 增益使得輻射場密度算符的增量為 ( 4 )af? ()t?85 反之 ， 對于庫中的 損耗原子 ， 它們在初始時(shí)刻 t0處于下能級 |b， 即初始時(shí)刻原子－輻射場系統(tǒng)的總密度算符為 a f 0 f 0 a 0 f 0f000? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) ?0 ( ) ( 5 . 1 4 )t t t t b b t? ? ? ? ???? ? ?????考慮損耗原子很多時(shí)的非飽和吸收 ， 計(jì)算中只取二級線性近似 ， 同理 ， 從 t= t0到 t= t0 +τ時(shí)刻 ， 損耗原子使得輻射場的密度算符 （ 總系統(tǒng)的約化密度算符 ） 變化為 22f L a a f 0 a f 0 0? ? ?0 f 0 f 0 f 0? ? ?( ) tr [ ( ) ( ) ] ( 1 2 ) ( )? ? ?? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) 2 ( )( 5 . 1]5)t t g Z tZ t a a t t a a a t a? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ???86 ()和 ()兩式分別代表了一個(gè)增益原子和一個(gè)損耗原子所帶來的對輻射場的密度算符 （ 即原子－輻射場總系統(tǒng)的約化密度算符 ）的貢獻(xiàn) 22f L a a f 0 a f 0 0? ? ?0 f 0 f 0 f 0? ? ?( ) tr [ ( ) ( ) ] ( 1 2 ) ( )? ? ?? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) 2 ( )( 5 . 1]5)t t g Z tZ t a a t t a a a t a? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ???2 2 4 4f G 0 0? ? ?0 f 0 f 0 f 04 4 ( 4 )0 a f 0? ??( ) ( 1 2 ) ( ) ( 1 2 4 ) ( )? ? ? ?? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) 2 ( )? ?( ) ( 2 4(5) tr [ ( )1]. 3 )ag X t g Y tX t a a t t a a a t aY t g t? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ???????87 相互作用圖像下約化密度算符的運(yùn)動(dòng)方程 ()和 ()式分別代表了一個(gè)增益原子和一個(gè)損耗原子所帶來的對輻射場的密度算符的貢獻(xiàn) ， 現(xiàn)在研究存在大量增益原子和損耗原子的情形下該密度算符的運(yùn)動(dòng)方程 。 以上都是在原子能量本征態(tài)下的矩陣表示 。前面已經(jīng)表明 ， 在二能級原子的能量本征態(tài)|a、 |b下 ， 利用上升和下降算符 ， 可把相互作用能表達(dá)為 （ 共振時(shí)它在相互作用圖像下和在 Schr246。定義總系統(tǒng)的約化密度算符為 f a f a f f a f fa f f f a a f f? ? ?? ?tr ( ) ( )? ?? ?[ ( ) ] tr [ tr ( ) ]j i i jjij i i jjiM M f a M a ff a a M f M????????????f a f a a f? ? ?tr ( ( 5 )) iaa? ? ????f f f f? ? ( 5. 6?tr [ )] MM ???76 因此 ， 當(dāng)只計(jì)算與場相關(guān)的算符平均值時(shí) ，可以先把總密度算符對原子變量求跡 ， 得到僅與場相關(guān)的約化密度算符 ， 使得計(jì)算簡化（ 形式上跟只有場存在時(shí)的計(jì)算是一樣的 ） 。 71 a f a f 0 a f 1 a f 1 1a f 1 a f 0 a f 2 a f 2 20101?? ? ?( ) ( ) [ ( ) , ( ) ] di1?? ? ?( ) ( ) [ ( )(, ( ) ] di5 .2 )I I I II I I Ittttt t H t t tt t H t t t? ? ?? ? ???????? ??????對 ()式兩邊從初始時(shí)刻 t=t0開始進(jìn)行關(guān)于時(shí)間的積分，便得到以下遞推關(guān)系 例如，把 ()式的第二式代入第一式右邊，得 1a f a f 0 a f 1 a f 0 1a f 1 a f 2 a f 2 2 120001 ?? ? ?( ) ( ) [ ( ) , ( ) ] di1 ? ?? [ ( ) , [ ( ) , ( ) ] ] d d( i )I I I II I Ittttttt t H t t tH t H t t t t? ? ????????72 這個(gè)過程可以重復(fù)進(jìn)行下去，得到 1a f a f 0 a f 1 a f 0 12a f 1 a f 2 a f 0 2 1a f 1 a f 2 a f 3 a f 0 3 2 13000120 0 0?? ? ?( ) ( ) ( 1 i ) [ ( ) , ( ) ] d? ? ?( 1 i ) [ ( ) , [ ( ) , ( ) ] ] d d1? ? ? ?[ ( ) , [ ( ) , [ ( ) , ( ) ] ] ] d d d( i )......I I I II I II I I Ittttttttt t ttt t H t t tH t H t t t tH t H t H t t t t t? ? ???????????? ? ?這稱作“微擾級數(shù)展開”，因?yàn)橹挥邢嗷プ饔媚茏銐蛐?，相?dāng)于在系統(tǒng)上附加的一個(gè)“微擾”時(shí)，展開的無窮級數(shù)才收斂。 單模激光場 增益飽和非線性 ， 近似到四級微擾 激活原子 損耗原子 |b |a 增益 損耗 線性損耗，近似到二級微擾 激光器的全量子理論模型 69 假設(shè)原子與輻射場在 t=t0時(shí)刻開始發(fā)生耦合，由原子和輻射場構(gòu)成的系統(tǒng)的密度算符，滿足 Schr246。當(dāng)輻射場與原子共振時(shí)， Ω=ω0，上述解化簡為 61 ,00,10,1( ) [ si n c os ] e xp[ i ( ) 2]e xp[ i ( ) 2]( ) [ i ( c os si n )1 ( ) ( si n c os ) 2]( ) si n c os1( ) [ i ( c os si n ) ]1anbnanbnC t A x t B x t ttC t x A x t B x tgnA x t B x tC t A x t B x tC t x A x t B x tgn????????? ? ? ? ??????????? ? ?????????????220( ) 4 ( 1 ) 2 ( 1 )x g n x g n??? ? ? ? ? ??于是有 62 1. 假設(shè)系統(tǒng)初始時(shí)刻 t=0處于下能級、光場有 (n+1)個(gè)光子，即 22, , 1( 0 ) 0 , ( 0 ) 1 0 , 1a n b nC C B A? ??? ? ?,1( ) si n( 1 ) c os( 1 )( ) i c os( 1 ) i si n( 1 )( )anbnC t A g n t B g n tC t A g n t B g n t?? ? ? ? ???? ? ? ???于是在任意時(shí)刻 t時(shí)，有 2 2,2 2,1 ,1( ) si n ( 1 )( ) si n( 1 )( ) i c os( 1 ) ( ) c os ( 1 )ananbn bnC t g n tC t g n tC t g n t C t g n t???? ??????????? ??????63 2. 假設(shè)系統(tǒng)初始時(shí)刻 t=0處于上能級、光場有n+1個(gè)光子，同理有 22 2,22 2, 1 , 1( 0) 1 ( ) c os ( 1 )( 0) 0 ( ) si n ( 1 )a n a nb n b nC C t g n tC C t g n t???? ? ? ??????? ? ? ????結(jié)論：在強(qiáng)信號作用下，當(dāng)輻射場與原子發(fā)生共振 Ω=ω0時(shí) ，原子總是在上下兩個(gè)能級之間不斷地反復(fù)躍遷，躍遷的頻率正比于光場數(shù)的平方根，即輻射場越強(qiáng)，狀態(tài)的反轉(zhuǎn)越快。下面就用非微擾方法求拉比強(qiáng)信號解 , 0 , 1, 1 0 ,( ) i 1 e xp[ i ( ) ] ( )( ( ) i 1 e xp[ i ()) ] ( )a n b nb n a nC t