【正文】 g n t C tC t g n t C t??????? ? ? ? ? ???? ? ? ???57 對 ()式再次對時間求導(dǎo)，并且以原來的 ()式代入，可以得到 2, 0 , ,2, 1 0 , 1 , 1( ) i ( ) ( ) ( 1 ) ( )( ) i ( ) ( ) (( )1 ) ( )a n a n a nb n b n b nC t C t g n C tC t C t g n C t????? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ???()式是兩個常系數(shù)齊次微分方程，其特征方程是： s2+ps+q=0，對于第一個方程，p=i(Ωω0)，對于第二個方程， p=i(Ωω0)；對于兩個方程都有 q=g2(n+1)。 所有模式 （ 頻率 ） 上總的自發(fā)發(fā)射幾率 ， 等于對各個模式上的自發(fā)發(fā)射幾率求和（ 頻率連續(xù)分布時 ， 對應(yīng)連續(xù)求和 ， 即積分 ） 。 50 ?初始光場的光子數(shù)相同的情況下，同一系統(tǒng)的受激發(fā)射幾率與受激吸收幾率相同，都是正比于初始光場的光子數(shù) ?自發(fā)發(fā)射幾率等于一個光子引發(fā)的受激發(fā)射幾率。 狀態(tài)演化方程的幾種解 使用迭代法求出 Ca, n (t)和 Cb, n+1(t)的各階近似解，也可以求出它們的強信號解，從而確定系統(tǒng)處于 態(tài) |a, n和 |b, n+1上的幾率 。態(tài)矢對應(yīng)概率振幅，根據(jù)同時發(fā)生事件的概率相乘原理，可以用 |a, n ≡ |a|n表示原子處于上能級而光場光子數(shù)為 n的本征態(tài)，而用 |b, n+1 ≡ |b|n+1表示原子處于下能級而光場光子數(shù)為 (n+1)的本征態(tài)，顯然 00? , ( 1 2) ,? , 1 [ ( 1 ) 1( 2.2] ,1)17abH a n n a nH b n n b n????? ? ? ???? ? ? ? ? ???39 , , 1 (2( ) ( ) , ( ) , 1 .1 8 )Ia n b nt C t a n C t b n? ?? ? ?其中展開系數(shù) Ca, n (t)和 Cb, n+1(t)假定為時間的緩變函數(shù)。 因此 |a和 |b在其自身表象下的矩陣表示為 10, 0( .1 )12ab? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?25 1. 上升算符和下降算符 定義上升算符 和下降算符 如下： ? ? 2201? ?, ( ) 0 00 00?(2?,.2( ) 0 1) 0abba????? ??? ? ?? ??? ? ?????? ? ?????????? ??? ?? ?, 0 ? ?, 0( )b a aa b b????? ????????26 即 上 升算符 把 下 能級本征態(tài) |b變?yōu)?上 能級本征態(tài) |a ， 下 降算符 則把 上 能級本征態(tài) |a變?yōu)?下 能級本征態(tài) |b 。dinger圖像下的 Hamiltonian算符 Eb Ea n?ω |b |a (n+1)?ω 單模輻射場與二能級原子構(gòu)成的系統(tǒng) 考慮由光場和原子共同組成的系統(tǒng)，其中原子是二能級的，上下能級本征態(tài)分別是 |a和|b，分別對應(yīng)能量本征值 Ea=?ωa和 Eb=?ωb 。dinger方程，且由 Hamiltonian算符中的相互作用項（微擾項）推動；算符的演化遵從 Heisenberg方程，且由 Hamiltonian算符中的自由項推動 22 以上三種圖像是對同一物理內(nèi)容的不同描述方式，在物理本質(zhì)上是相互等價的。相互作用圖像下的態(tài)矢和算符（帶上標(biāo) I），可由 Schr246。這種幺正變換不改變態(tài)矢內(nèi)積和力學(xué)量平均值，不改變算符之間的對易關(guān)系，因此不改變物理內(nèi)容，兩種圖像等價。 對于 力學(xué)量平均值，有 ?? ?( ) ( ) ( )? ? ? ?( 0) ( ) ( ) ( 0) ( )S S S SS S S H H HF t F t F tU t F U t F t??? ? ? ?????13 1? 1?( 0) ( ) ( )? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )H S SH S SU t tF t U t F U t U t F U t? ? ???? ????????其中 分別是 Heisenberg圖像 下的態(tài)矢和力學(xué)量算符。 10? ( , )U t t8 由于概率守恒 φ(t1)|φ(t1)=φ(t0)|φ(t0)，且 0 0 1 1?0 1 0 1 0 0( ) ( ) ( ) ( )? ?( ) ( , ) ( , ) ( )t t t tt U t t U t t t? ? ? ??????1 0 1 0? ?( , ) ( , ) 1U t t U t t ?故 由于 Hamiltonian算符是厄米算符，由后面的()式，可以進(jìn)一步給出 ? ?1 0 1 0 1 0 1 0? 11 0 1 0? ? ? ?( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1? ?( , ) (),( )U t t U t t U t t U t tU t t U t t?? ???????9 0 0 0 0 0 01 1 0 010 0 1 1 0 1 1 00 1 1 0 0? ?( ) ( , ) ( ) ( , ) 1 ?( ) ( , ) ( )? ? ?( ) ( , ) ( ) ( , ) ((1, ) ? ?( , ) ( , ) (.4)( 1.)5)t U t t t U t tt U t t tt U t t t U t t U t tU t t U t t t???????????????? ??? ????時間演化算符還滿足以下性質(zhì) 滿足 ()式的算符成為幺正算符，它所代表的的變換稱為幺正變換（正交變換可看作是一種特殊的幺正變換） 10 1 1 0 02 2 1 1 2 1 1 0 02 2 0 0?( ) ( , ) ( )? ? ?( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( )?( ) ( , ) ( )t U t t tt U t t t U t t U t t tt U t t t??? ? ???? ??????????下面令 t1=t， t0=0，且采用簡寫 ?( ) ( ) ( 0 )t U t???10? ? ?( , ) ( , 0) ( )U t t U t U t??把 由 2 0 2 1 1 0? ? ?( , ) ( , ) ( , () 1. ) 6 U t t U t t U t t?有 11 代入 Schr246。 6 Schr246。量子力學(xué)對微觀系統(tǒng)狀態(tài)及其運動規(guī)律存在三種等價的描述方式，稱之為圖像 (picture)，或表象，或繪景，它們是： 1． Schr246。dinger圖像 2． Heisenberg圖像 3．相互作用 (Interaction)圖像 5 在量子力學(xué)中，可觀測量 不是力學(xué)量算符和態(tài)矢本身，而 是力學(xué)量的平均值及其概率分布， 它們 是隨時間演化的。dinger圖像 ?i ( ) ( ) . ) ( 1 1t H tt??? ??在該圖像中，體系的狀態(tài)矢量 |φ(t)是隨時間t演化的，其演化的方式遵守 Schr246。dinger方程，有 ? ? ?i ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 )U t H U tt??? ??由于 |φ(0)是任意的，故 ? ? ?i ( ) ( ) ( ) U t t H U t? ? ?代表能量算符的 Hamiltonian算符不顯含 t， ()式有以下形式解 1 0 1 0 ( )? ?( , ) e xp[ i ( ) ] ? ? ?( ) ( , 0) e xp( i )U t t H t tU t U t Ht? ? ? ???? ? ???12 Heisenberg圖像 在下面 ， Schr246。不顯含時間的 Hamiltonian算符，在兩種圖像下是相等的，這是因為 Hamiltonian算符與時間演化算符是對易的 。 假設(shè)力學(xué)量算符不顯含 t，即 ?0SFt? ? ?利用 ()式， 有 ? ?? ? ? ? ? ? ?d d ( ) ( )H S SF t U t F U U F U t? ? ? ? ? ?15 我們有 ? ?? ? ? ? ? ?i , iSSU t H U U t U H? ? ? ? ? ? ?利用 ()式，即 ? ?? ? ? ??? ?1? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?d d ( ) i? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( 1 i ) [ ]? ? ? ? ? ?( 1 i ) [ ] ( 1 i ) [ , ] H S S S SS S S SH H H H HHSUUH H HF t U H F U U F H UU F U U H U U H U U F UF H H F F H???? ? ????????????16 (1d1? ? ?( ) [ , . 1 1] )di HHF t F Ht ?總之，在 Heisenberg圖像中，態(tài)矢不隨時間演化，而力學(xué)量算符是隨時間演化的， 其演化的方式遵守 Heisenberg方程。dinger圖像下的態(tài)矢和算符作如下幺正變換得到： 0?SH? SH?18 0010100? ?( ) e x p ( i )?( ) ( ) ( ) ( 1 .1 3 )? ? ? ?( ) ( ) ( )SISISU t H tt U t tF t U t F U t????? ??????????其中的幺正變換算符 是由 Hamiltonian算符的主要部分來定義 的時間演化算符，它同樣滿足前面給出的演化算符的一切性質(zhì)。例如，在三種圖像中，算符之間的對易關(guān)系不會變，算符的平均值不會變，態(tài)矢之間的內(nèi)積不會變，測不準(zhǔn)關(guān)系不會變，等等。 24 上下能級的本征態(tài)矢量 |a和 |b滿足正交歸一和完備性關(guān)系，例如 a|a= b|b=1, a|b= b|a=0。顯然上升算符和下降算符互為復(fù)共軛轉(zhuǎn)置，即互為厄米共軛。 相互作用圖像下的相互作用能為 1a f 0 a f 0? ?a f a f(? ? ? ?( ) ( ) ( ) ? ? ? ? ?(9? ))ISSH t U t H U tH H g a a???? ???? ? ???在 相互作用圖像下， 利用系統(tǒng)定態(tài)哈密頓算符 的兩個本征態(tài) |a, n和 |b, n+1，可把系統(tǒng)的一般 態(tài)矢表示為 0?H40 把 ()式代入 ()式，可得書上 ()式 (作業(yè)：由 ()式推出證明()式 ），即下面的 ()式 00? ?af i ( ) i ( )? ? ? ? ?( ) [ ] ( 2. 20 )eeI ttH t g a a? ? ? ??? ? ? ???其中， ω0為二能級原子的共振躍遷頻率： 0 ( )ab? ? ???為便于推導(dǎo)，可對 ()的第二式取它的原始表達(dá)式，再去掉不滿足能量守恒的項。 45 1. 受激吸收幾率 假定系統(tǒng)在初始 t=0時刻處在 |b, n+1 的狀態(tài) , , 1, , 1( 0) ( 0) , ( 0) , 1 , 1( 0) 0 , ( 0) 1Ia n b na n b nC a n C b nbnCC????? ? ?????即初始時刻系統(tǒng)中的原子處于下能級而光場有 (n+1)個光子。自發(fā)發(fā)射在全量子理論中完全是自然出現(xiàn)的，這是因為量子場存在真空起伏，從而存在零點能，零點能對處于上能級的原子產(chǎn)生干擾，使其產(chǎn)生向下能級的躍遷，這個過程中能量守恒（反之不存在“自發(fā)吸收”過程，因為違背能量守恒）。 體積 V內(nèi)從頻率 Ω～ (Ω+dΩ)之間的光頻范圍內(nèi)的模式數(shù)為 （ 已考慮到兩種偏振狀態(tài) ） 323 2 332d4 π dddd ( ) 2(2 π ) πk k kkc