屆總復(fù)習-走向清華北大--47直線平面垂直(編輯修改稿)
2025-02-14 17:28 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ” ,它是平面的斜線與它在平面內(nèi)的射影的夾角 .求直線和平面所成的角 ,幾何法一般先定斜足 ,再作垂線找射影 ,然后通過解直角三角形求解 ,可以簡述為 “ 作 (作出線面角 )→ 證 (證所作為所求 )→ 求 (解直角三角形 )” .通常 ,通過斜線上某個特殊點作出平面的垂線段 ,垂足和斜足的連線是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵 . 第 33頁 共 71 頁 【 典例 4】 已知三棱柱 ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等 ,A1在底面 ABC內(nèi)的射影為△ ABC的中心 ,則 AB1與底面ABC所成角的正弦值等于 ( ) 12..3332..33ABCD第 34頁 共 71 頁 2 2 2 21111111 1 1111 1 13,2 3 6( ) ,3 2 36.3[ ] , B A B C , D ,A D , B A D . , AA B C , a , A BA O A BA B C , B D A OR t A B D , si n B A D A B2,32.3A B CB.aa AO a a aaBDAB????????? ? ? ? ??解 析 如 圖 所 示 過 點 作 平 面 的 垂 線 垂 足 為 連 接則 就 是 所 求 的 線 面 角 由 題 意 知 三 棱 錐為 正 四 面 體 設(shè) 棱 長 為 則 棱 柱 的 高由 于 ∥平 面 故在 中 故 與 底 面所 成 角 的 正 弦 值 為 故 選第 35頁 共 71 頁 [答案 ] B 第 36頁 共 71 頁 [反思感悟 ] 求線面角的關(guān)鍵是作出這個角 .而作出這個角就要過平面斜線上的一點作平面的垂線 ,一般方法是有直接法和根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理的方法 . 第 37頁 共 71 頁 類型五 二面角 解題準備 :二面角大小的求法 :由于二面角的大小是用它的平面角的大小度量的 ,因此求解二面角的大小的關(guān)鍵是作出它的平面角 ,將面面角的計算轉(zhuǎn)化為一個平面上的線線角的計算 .其基本步驟是作 (作平面角 )→ 證 (證所作即所求 )→算 (計算平面角的大小 ). 第 38頁 共 71 頁 作二面角的平面角的常用方法有 : (1)直接法 :根據(jù)平面角的概念直接作 ,如二面角的棱是兩個等腰三角形的公共底邊 ,就可以取棱的中心 。 (2)垂面法 :過二面角棱上一點作棱的垂面 ,則垂面與二面角的兩個半平面的交線所成的角就是二面角的平面角或其補角。 第 39頁 共 71 頁 (3)垂線法 :過二面角的一個半平面內(nèi)一點 A作另一個半平面的垂線 ,再從垂足 B向二面角的棱作垂線 ,垂足為 C,這樣二面角的棱就垂直于這兩個垂線所確定的平面 ABC,連接AC,則 AC也與二面角的棱垂直 ,∠ ACB就是二面角的平面角或其補角 ,這樣就把問題歸結(jié)為解一個直角三角形 ,這是求解二面角的最基本 ?最重要的方法 . 第 40頁 共 71 頁 【 典例 5】 如圖 ,已知 PA垂直于正方形 ABCD所在平面 ,且PA=AB. 第 41頁 共 71 頁 (1)求平面 PDC與平面 ABCD所成二面角的大小 。 (2)求二面角 BPCD的大小 。 (3)求二面角 APBC的大小 。 (4)求平面 PAB與平面 PCD所成二面角的大小 . [分析 ] 根據(jù)所求的二面角 ,選擇適當?shù)淖鞫娼堑姆椒ㄗ鞒龆娼?,然后求解 . 第 42頁 共 71 頁 [解 ] (1)∵ PA⊥ 平面 ABCD. DC?平面 ABCD,∴ DC⊥ PA. 由正方形 ABCD,有 DC⊥ AD, ∴ DC⊥ PD(三垂線定理 ),故 ∠ PDA即為平面 PDC與平面ABCD所成二面角的平面角 . ∵ PA=AB,AB=AD, ∴ △ PAD為等腰直角三角形 . ∴∠ PDA=45176。 ,即平面 PDC與平面 ABCD所成二面角的大小為 45176。 . 第 43頁 共 71 頁 (2)在 Rt△ PCB與 Rt△ PCD中 ,BC=DC,∠ POC=∠ PBC= ,PC為公共邊 , ∴ △ PCB≌ △ PCD. 在平面 PBC內(nèi)作 BE⊥ PC于點 E, 連接 DE,則 DE⊥ PC. ∠ BED即為二面角 BPCD的平面角 ,且 BE=DE. 又設(shè) PA=AB=a,則 PB=PD= ∴ BE=DE=a 2?2 , 3 ,a PC a?2 .3aa第 44頁 共 71 頁 又 BD= ,在△ BDE中 , cos∠ BED= 又 0176。 ∠ BED≤180176。 ,∴∠ BED=120176。 . 即二面角 BPCD的大小為 120176。 . 2a2 2 2 1.22B E D E B DB E D E?? ??第 45頁 共 71 頁 (3)解法一 :∵ PA⊥ 平面
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