【文章內(nèi)容簡介】 　　　　AH＝，F(xiàn)H＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AD＞BC，AD＞DF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴AH＞FH，EH＞BH　　　　　　　　　　　　　DE＝，BD＝∴DE＞BD即AC＞BD：正方形ABCD的邊長為1，正方形EFGH內(nèi)接于ABCD，AE＝a，AF＝b,且SEFGH＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求：的值　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?。?001年希望杯數(shù)學邀請賽，初二）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解：根據(jù)勾股定理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　a2+b2=EF2＝SEFGH＝ 。①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵4S△AEF＝SABCD－SEFGH　　∴　2ab=　　?、冖?－②得　（ab）2=　　　　∴＝丙練習311. 以下列數(shù)字為一邊，寫出一組勾股數(shù)：① 7，＿＿，＿＿　　②8，＿＿，＿＿　　③9，＿＿，＿＿④10，＿＿，＿＿　?、?1，＿＿，＿＿　?、?2，＿＿，＿＿2. 根據(jù)勾股數(shù)的規(guī)律直接寫出下列各式的值：① 252－242＝＿＿，　　?、?2＋122＝＿＿，③＝＿＿＿，④＝＿＿＿3. △ABC中，AB＝25，BC＝20，CA＝15，CM和CH分別是中線和高。那么S△ABC＝＿＿，CH＝＿＿，MH＝＿＿＿4.　梯形兩底長分別是3和7，兩對角線長分別是6和8，則S梯形＝＿＿＿：△ABC中，AD是高，BE⊥AB，BE＝CD，CF⊥AC，CF＝BD求證：AE＝AF：M是△ABC內(nèi)的一點，MD⊥BC，ME⊥AC，MF⊥AB，且BD＝BF，CD＝CE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求證：AE＝AF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　△ABC中，∠C是鈍角，a2b2=bc 　求證∠A＝2∠B。（用反證法），且周長和面積的數(shù)值相等，求各邊長10等腰直角三角形ABC斜邊上一點P，求證：AP2＋BP2＝2CP2△ABC中，∠A＝Rt∠，M是BC的中點，E，F(xiàn)分別在AB，ACME⊥MF求證：EF2＝BE2＋CF2△ABC中，∠ABC＝90，∠C＝60，BC＝2，D是AC的中點，從D作DE⊥AC與CB的延長線交于點E，以AB、BE為鄰邊作矩形ABEF，連結(jié)DF，則DF的長是＿＿＿＿。（2002年希望杯數(shù)學邀請賽，初二試題）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　13.△ABC中，AB＝AC＝2，BC邊上有100個不同的點p1，p2，p3，…p100, 記mi=APi2+BPiPiC (I=1,2……，100)，則m1+m2+…＋m100=____ (1990年全國初中數(shù)學聯(lián)賽題)返回目錄　　參考答案　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　初中數(shù)學競賽輔導資料（32）中位線甲內(nèi)容提要1. 三角形中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。2. 中位線性質(zhì)定理的結(jié)論，兼有位置和大小關系，可以用它判定平行，計算線段的長度，確定線段的和、差、倍關系。3. 運用中位線性質(zhì)的關鍵是從出現(xiàn)的線段中點，找到三角形或梯形，包括作出輔助線。4. 中位線性質(zhì)定理，常與它的逆定理結(jié)合起來用。它的逆定理就是平行線截比例線段定理及推論，①一組平行線在一直線上截得相等線段，在其他直線上截得的線段也相等②經(jīng)過三角形一邊中點而平行于另一邊的直線，必平分第三邊③經(jīng)過梯形一腰中點而平行于兩底的直線，必平分另一腰5. 有關線段中點的其他定理還有：①直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半②等腰三角形底邊中線和底上的高，頂角平分線互相重合③對角線互相平分的四邊形是平行四邊形④線段中垂線上的點到線段兩端的距離相等因此如何發(fā)揮中點作用必須全面考慮。乙例題例1. 已知：△ABC中，分別以AB、AC為斜邊作等腰直角三角形ABM和CAN，P是BC的中點。求證：PM＝PN?。?991年泉州市初二數(shù)學雙基賽題）證明：作ME⊥AB，NF⊥AC，垂足E，F(xiàn)　　　　　　　　　　　　　　　　　∵△ABM、△CAN是等腰直角三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴AE＝EB＝ME，AF＝FC＝NF，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　根據(jù)三角形中位線性質(zhì)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　PE＝AC＝NF，PF＝AB＝ME　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　PE∥AC，PF∥AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠PEB＝∠BAC＝∠PFC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　即∠PEM＝∠PFN　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴△PEM≌△PFN　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴PM＝PN△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD是角平分線，CM⊥AD于M，且N是BC的中點。求MN的長?！　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　》治觯篘是BC的中點，若M是另一邊中點，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　則可運用中位線的性質(zhì)求MN的長，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　根據(jù)軸稱性質(zhì)作出△AMC的全等三角形即可。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　輔助線是：延長CM交AB于E（證明略）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，且等于兩底差的一半。已知：梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分別是AC、BD的中點求證：MN∥AB∥CD，MN＝（AB－CD）　　分析一：∵M是AC中點，構(gòu)造一個三角形，使N為另一邊中點，以便運用中位線的性質(zhì)?！噙B結(jié)CN并延長交AB于E（如圖1）證△BNE≌△DNC可得N是CE的中點。（證明略）分析二：圖2與圖1思路一樣。分析三：直接選擇△ABC，取BC中點P連結(jié)MP和NP，證明M，N，P三點在同一直線上，方法也是運用中位線的性質(zhì)。例4. 如圖已知：△ABC中，AD是角平分線，BE＝CF，M、N分別是BC和EF的中點　　　　　　　　　　　　　　　　求證：MN∥AD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　證明一：連結(jié)EC，取EC的中點P，連結(jié)PM、PNMP∥AB，MP＝AB，NP∥AC，NP＝AC∵BE＝CF，∴MP＝NP∴∠3=∠4=∠MPN＋∠BAC＝180（兩邊分平行的兩個角相等或互補）∴∠1=∠2=， ∠2=∠3∴NP∥AC ∴MN∥AD　　　　　　證明二：連結(jié)并延長EM到G，使MG＝ME連結(jié)CG，F(xiàn)G　　　則MN∥FG，△MCG≌△MBE∴CG＝BE＝CF　∠B＝∠BCG　　　　　　　　　　　　　　　∴AB∥CG，∠BAC＋∠FCG＝180∠CAD＝（180－∠FCG）∠CFG＝（180－∠FCG）=∠CAD 　∴　MN∥AD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例5. 已知：△ABC中，AB＝AC，AD是高，CE是角平分線，EF⊥BC于F，GE⊥CE交CB的延長線于G　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求證：FD＝CG　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　證明要點是：延長GE交AC于H，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　可證E是GH的中點　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　過點E作EM∥GC交HC于M，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　則M是HC的中點，EM∥GC，EM＝GC　　　　　　　　　　　　　　　　　　由矩形EFDO可得FD＝EO＝EM＝GC　　丙練習32　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　、F、G、H是四邊形ABCD各邊的中點　　　　　　　　　　　　　　　則①四邊形EFGH是＿＿＿＿＿形　　　　　　　　　　　　　　?、诋擜C＝BD時，四邊形EFGH是＿＿＿形　　　　　　　　　　　　　　　　　?、郛擜C⊥BD時，四邊形EFGH是＿＿形　　　　　　　　　　　　　　　　　　?、墚擜C和BD＿＿＿＿＿＿＿＿時，四邊形EFGH是正方形形。：梯形兩底中點連線小于兩邊和的一半。，E，F(xiàn)，G分別是邊BC，CA，AB的中點，證明順次連結(jié)E，F(xiàn)，G，H　所成的四邊形是等腰梯形。4. 已知：經(jīng)過△ABC頂點A任作一直線a,過B，C兩點作直線a的垂線段　　　BB，和CC，設M是BC的中點，求證：MB，＝MC，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　△ABC中，AD＝BE，DM∥EN∥BC求證BC＝DM＋EN：從平行四邊形ABCD的各頂點向形外任一直線a作垂線段AE，BF，CG，DH。求證AE＋CG＝BF＋DH　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，F(xiàn)是DE的中點，求證BC＝2CE，M，N分別是BC、CD的中點，求證AC平分MN△ABC中，D是邊BC上的任一點，M，N，P，Q分別是BC，AD，AC，MN的中點，求證直線PQ平分BD。，AB∥CD，AD＝BC，點O是AC和BD的交點，∠AOB＝60，P，Q，R分別是AO，BC，DO的中點，求證△PQR是等邊三角形?！　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。骸鰽BC中，AD是高，AE是中線，且AD，AE三等分∠BAC，求證：△ABC是Rt△。：在銳角三角形ABC中，高AD和中線BE相交于O，∠BOD＝60，求證AD＝BE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　已知：四邊形ABCD中，AD＝BC，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　點E、F分別是AB、CD的中點，MN⊥EF　　　　　　　　　求證：∠DMN＝∠CNM　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　返回目錄　參考答案　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　初中數(shù)學競賽輔導資料（33）同一法甲內(nèi)容提要1.　“同一法”是一種間接的證明方法。它是根據(jù)符合“同一法則”的兩個互逆命題必等效的原理，當一個命題不易證明時，釆取證明它的逆命題。2.　同一法則的定義是：如果一個命題的題設和結(jié)論都是唯一的事項時，那么它和它的逆命題同時有效。這稱為同一法則?！』ツ鎯蓚€命題一般是不等價的。例如原命題：福建是中國的一個省?。ㄕ婷}）逆命題：中國的一個省是福建　（假命題）　但當一命題的題設和結(jié)論都是唯一的事項時，則它們是等效的。例如原命題：中國的首都是北京?。ㄕ婷}）逆命題：北京是中國的首都?。ㄕ婷}）因為世界上只有一個中國，而且中國只有一個首都，所以互逆的兩個命題是等效的。又如原命題：等腰三角形頂角平分線是底邊上的高。（真命題）逆命題：等腰三角形底邊上的高是頂角平分線。（真命題）　因為在等腰三角形這一前提下，頂角平分線和底邊上的高都是唯一的，所以互逆的兩個命題是等效的。3.　釆用同一法證明的步驟：如果一個命題直接證明有困難，而它與逆命題符合同一法則，則可釆用同一法，證明它的逆命題，其步驟是：① 作出符合命題結(jié)論的圖形（即假設命題的結(jié)論成立）② 證明這一圖形與命題題設相同（即證明它符合原題設）乙例題　例1. 求證三角形的三條中線相交于一點已知：△ABC中，AD，BE，CF都是中線求證：AD，BE，CF相交于同一點分析：在證明AD和BE相交于點G之后，本應再證明CF經(jīng)過點G，這要證明三點共線，直接證明不易，我們釆用同一法：連結(jié)并延長CG交AB于F，證明CF，就是第三條中線（即證明AF，＝F，B）證明：∵∠DAB＋∠EBA＜180　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴AD和BE相交，設交點為G