【文章內(nèi)容簡介】 關注理念的關鍵性事件： 運用兒童生活經(jīng)驗， “ 除法就是分豆子 ” ， 讓學生真實地體驗 “ 數(shù)學化 ” 的含義。 （ 4）新行為階段 困難 做除法要 “ 拿豆子來 ” ，只會動手做、不會動腦想。課堂熱熱鬧鬧，卻陷入了數(shù)學教學的淺薄與貧乏。 教師的創(chuàng)造 在實物與算式間設置一個中介 ——放掉豆子和盤子，學生在腦中分豆子，終于越過了形式化的難關。 關注獲得的關鍵性事件： 學生不會形式化，采用“腦中分豆子”， 才能解決從實物到符號的過渡。 “分豆子 ” 與布魯納的認知理論 實物操作 表象操作 符號操作 分豆子 腦中分豆子 算式運算 （ 具體 ） （ 半具體 、 半抽象 ） （ 抽象 ） 尋找規(guī)律 數(shù)學是在具體、半具體、半抽象、抽象中間的鋪排，是穿梭于實物與算式之間所作的形式化過渡。 （ 5）實踐創(chuàng)造與理論學習 讓學生發(fā)現(xiàn) “ 余數(shù)比除數(shù)小 ” 師生語言互動時間分布表 改進前 (423 ″ ) 改進后 (410 ″ ) 弗蘭德師生語言互動分類 時間 ( ″ ) 百分比(%) 合計 時間 ( ″ ) 百分比 (%) 合計 ①接納學生感覺 5 1 .2 16 3 .9 ②贊許學生行為 22 5 .2 23 5 .6 回應 ③接受學生觀點 12 2 .8 11 2 .7 中立 ④問學生問題 23 5 .4 72 1 7. 6 ⑤演講 48 1 1. 3 25 6 .1 ⑥指示或命令 31 7 .3 0 0 教師講 自發(fā) ⑦批 評或辯護權(quán)威行為 25 5 .9 1 66 ″ 3 9. 2% 0 0 1 47 ″ 3 5. 9% 回應 ⑧回答老師的提問或 按老師要求表述 66 1 5. 6 33 8 .1 學生講 自發(fā) ⑨主動表達自己的觀點或向老師提出問題 43 1 0. 2 1 09 ″ 2 5. 8% 95 2 3. 2 1 28 ″ 3 1. 2% 靜止 中立 ⑩靜止或疑惑暫時停頓或不理解 33 7 .8 7 .8 % 0 0 0% 小組討論 1 15 2 7. 2 2 7. 2% 1 35 3 2. 9 3 2. 9% （ 6）課堂理念與行為發(fā)生改變 師生語言互動狀況及其理念與行為的改變 ? 課堂靜止或不理解的時間⑩、教師指示或命令⑥、批評或辯護權(quán)威行為⑦，在改進課中下降為零；教師演講⑤、學生按老師要求表述⑧，明顯減少 ? 教師的提問④、學生主動表達自己的發(fā)現(xiàn)的語言⑨，在改進課中明顯增加；教師接納學生感覺的語言①，也有上升 0510152025⑩ ⑥ ⑦ ⑤ ⑧ ④ ⑨ ③ ② ①改進前改進后（ % ）（ 1）選題背景 勾股定理是數(shù)學教改的晴雨表：上一世紀五六十年代數(shù)學課程中的嚴格論證、后來提倡的 “ 量一量、算一算 ” 、之后的 “ 告訴結(jié)論 ” 、 “ 做中學 ” ，直到現(xiàn)在的探究式等。數(shù)學教學要培養(yǎng)學生的數(shù)學計算、數(shù)學論證乃至數(shù)學決策等三大能力，勾股定理教學正是一個恰當?shù)睦印? a2+b2=c2 案例 2：勾股定理能夠被學生探究出來嗎 （ 2）回顧原教學行為 歐幾里德方法 (等積變形推導 ) 技巧難度太高 設置動手情境 “量一量、算一算 ” 得不出 a2+b2=c2 “剪一剪、拼一拼” 學生不會剪拼 提供勾股數(shù)組 : 32+42=52 62+82=102 簡化為鋪地磚 : 特殊情境成了直接暗示 ,無異于告訴事實 優(yōu)秀教師不滿足于以往的教學行為。查閱第 3次國際數(shù)學與科學重復錄像研究項目提供的 12個勾股定理教學錄像，沒有獲得滿意的結(jié)果。 嘗試新的教學設計，要點是： ① 目標在于體現(xiàn) “ 猜想 —證明 ” 這種數(shù)學思想方法的本原性意義。 ② 探究需要 “ 鋪墊 ” （有層次推進的策略）。就像學游泳，不能讓所有學生都直接跳到海里，要有一定的背景知識和帶關鍵性的技能、策略作鋪墊。鋪墊也稱“ 腳手架 ” ，為學生提供一種教學協(xié)助，幫助學生完成在現(xiàn)有能力下向高認知學習任務的難度攀升。 （ 3）在不滿中尋找出路 （ 4）情境鋪墊出猜想 ① 問題 : 直角三角形兩條直角邊和斜邊之間有什么關系 ? a、 b＜ c＜ a+b （已有知識） 兩邊平方怎么樣 ? a b2＜ c2＜ ② 鋪墊 : 在方格紙內(nèi)斜放一個正方形 ABCD，每個小方格的邊長為單位 1，怎樣計算正方形 ABCD的面積？ (a+b)2 a2+2ab+b2 ③ 數(shù)據(jù)表 ： 用前面的方法分別計算下列四個圖形中的 ab2 、 2ab及 c2的值，并填表。 代數(shù)項 圖 Ⅰ 圖 Ⅱ 圖 Ⅲ 圖 Ⅳ … a2 1 4 9 16 b2 4 9 16 25 2ab 4 12 24 40 c2 5 13 25 41 學生的發(fā)現(xiàn)出乎意料：c2=2ab+1 a2+b2=c2 a+b+a2=b2 2ab+c2=(a+b)2等 ! (5) 反駁與證明的師生對話 [生 1 ] 根據(jù)數(shù)據(jù)表 ,我得出 c2=2ab+1的結(jié)論。 [ 師 ] [很驚訝 ]怎么會 ,不可能吧 ? [生 2 ] 我做過 a=2,b=4的例子 ,這時 2ab=16,c2=20,c2≠2ab+1 。 [ 師 ] 生 2用舉例來 “ 反駁 ” ,有說服力 ,c2=2ab+1這一結(jié)論不能成立。 [生 3 ] 老師 ,當 a與 b相差 1的時候 ,這個結(jié)論還是成立的。 [ 師 ] [心中想 c2=(ab)2+2ab,ba=1時 ,c2=2ab+1]這個意見也是對的 ,這是一個有條件的結(jié)論。好 ,下面我們來看看另外一個結(jié)論 a2+b2=c2。 [生 4] 這個結(jié)論對前面已舉過的圖例來說都是成立的 ,但是我想 ,即使 100個例子都正確 ,101個例子不成立了呢 ?所有例子都成立才是定理 ,只要有 1個例