[英語學(xué)習(xí)]論文翻譯文章(編輯修改稿)
2025-02-12 07:05 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 那就是需要追尋的性質(zhì)，則在緊群里可以點乘傅里葉級數(shù)。典型群就是一個屬于緊群的典型的列子，這概括了全部形如空間的傅里葉變換，在這里是一個緊群，這樣，傅里葉變換進行逐點卷積，傅里葉級數(shù)以相同的方式存在且收斂于。彼得威爾定理是一個交變延伸對緊群，它證明了緊群的表述類似于那些關(guān)于有限群的。黎曼流形主要詞條：拉普拉斯算子、黎曼流形如果值域不是一個群，那么從本質(zhì)上講沒有明顯的卷積。然后，如果是一個簡潔的黎曼流形，則它有一個拉普拉斯貝爾特拉米算子，拉普拉斯貝爾特拉米算子是相應(yīng)于拉普拉斯算子對流形的微分算子。然后，通過類比，可以對考慮熱方程。因為傅立葉由一開始嘗試解決熱方程為基礎(chǔ)而達到最后的結(jié)果，自然泛化是使用本征解拉普拉斯貝爾特拉米算子為基礎(chǔ)，這概括了傅立葉級數(shù)在形如空間里，在這里，是一個黎曼流形。傅立葉級數(shù)收斂與相似的情形，一個典型的列子就是在一個一般尺寸的球體上，這中情形下，傅立葉級數(shù)由球面諧波組成。局部緊交換群主要詞條：龐特里亞金對偶性上面關(guān)于緊群的概念不能推廣到非緊群，非交換群。但是，可以簡單的推廣到局部緊交換群。生成到的傅里葉變換，其中是一個局部緊交換群。如果是緊的，我們還可以獲得一個傅里葉級數(shù)，它的收斂情況類似于的情況，但如果不是緊的，我們只能得到傅里葉積分。當局部緊交換群是是屬于R時，這類推廣得到了通常的傅里葉變換。
傅里葉級數(shù)的近似值與收斂一個與傅里葉級數(shù)一樣重要的應(yīng)用是收斂。特別地，它常常代替用有限級數(shù)代替無窮級數(shù)： 這叫做部分和，我們將研究，在什么情況下收斂于當趨向無窮時。最小二乘當滿足下面的形式時，就說它是n次三角多項式： 是一個次的三角函數(shù)，帕舍伐爾定理也指明了這一定理。該三角多項式是唯一且最好的逼近的三角多項式，就意義而言，對任何次的三角多項式，都有。這里，希爾伯特空間為： 。收斂
主要詞條：傅立葉級數(shù)收斂根據(jù)最小二乘法的性質(zhì)和傅立葉級數(shù)的完整性，我們能得出一個基礎(chǔ)的收斂結(jié)論。
定理：如果屬于，那么傅里葉級數(shù)收斂于在上，也就是說當趨向于的時候，趨向于。之前提及的，如果是連續(xù)可微的，那么就是導(dǎo)數(shù)的階傅里葉系數(shù)。這從本質(zhì)上遵循著柯西—施瓦爾茲不等式，即的傅里葉級數(shù)是完全可求和的，改級數(shù)的和是一個連續(xù)函數(shù)，等于，因此傅里葉級數(shù)平均收斂于。定理：如果，那么傅里葉級數(shù)一致收斂于（逐點收斂）。這個結(jié)論輕易地就能被證明當進一步假設(shè)為，因為時趨向于。再一般地，傅里葉級數(shù)是完全可求和的，因此當滿足赫爾德條件時，它一致收斂于。在完全求和的情況下，不等式證明了一致收斂性。人們知道許多關(guān)于傅里葉級數(shù)的結(jié)論，從相對簡單的如級數(shù)收斂于點當在點可微到里納特卡爾松的比較復(fù)雜的關(guān)于函數(shù)的傅里葉級數(shù)完全收斂于幾乎任意一點。這些定理，和圍繞它們變更的（理論）并沒指明收斂條件，就普遍地被稱為“傅里葉定理”。由于傅里葉級數(shù)有這么多好的收斂性質(zhì)，很多人就對一些反面結(jié)果感興趣。比如，以為周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)不必逐點收斂，一致有界原理對此做出一個簡單的非構(gòu)造證明。1922年，安德雷克爾莫哥洛夫發(fā)表一篇名為《Une s233。rie de FourierLebesgue divergente presque partout》的文章，里面給出一個勒貝格可積函數(shù)的傅里葉級數(shù)幾乎在任意一點都偏離的例子，后來他又提出一個可積函數(shù)的傅里葉級數(shù)幾乎在任意一點都偏離的例子（卡此納爾遜 1976）。參考文獻[1] 納洛夫約瑟L(1995).，：0125157517.[2] 弗里蓋威廉.(1957).：科學(xué)出版社.[3] 高盧斯特約瑟夫(17681830).傅里葉畢生作品：218219.[4] 喬治托爾斯泰(1976).傅里葉級數(shù). 國際標準圖書編號：0486633179.[5] 由于積分定義周期函數(shù)的傅里葉變換不收斂，所以有必要觀察這個周期函數(shù)和它的轉(zhuǎn)換作為區(qū)分，在這個情況下是一個狄拉克函數(shù)，極分布的一個舉例。[6] 威廉 McC 伯特(1985).：14. 國際標準圖書編號：9783540639138.[7] (1990).電子學(xué)和電子物理學(xué)的提出：369. 國際標準圖書編號：9780120146505.[8] 漢斯(1998).固態(tài)電子光譜學(xué)：：9783540639138.[9] 卡爾 ：26. .國際標準圖書編號：9780898599954.外文翻譯（二）泰勒級數(shù)出自維基百科，自由的百科全書定義：泰
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