【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ? ? ? ????nikii uBDup0,? ?? ?? ??????nikiinikiiiuBuBpuP0,0,??☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ? 有理分式表示 ? 有理分式性質(zhì) ? 基函數(shù)表示 ? 基函數(shù)性質(zhì) ? 基函數(shù)性質(zhì) ? 齊次坐標(biāo)表示 ? 齊次坐標(biāo)表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 形狀因子：交比的定義 ? 交比： 共線四點(diǎn) a,b,c,d的交比定義為： Cr(a,b,c,d)=(ab/cd)/(ac/cd) 即： b點(diǎn)分 ad成兩段的長(zhǎng)度比 與 c點(diǎn)分ad成兩段的長(zhǎng)度比 的比值 。 – ad及所分四線段都應(yīng)理解為有向線段 → 所取長(zhǎng)度為代數(shù)長(zhǎng) 。 ? 直線段被分成兩子段的長(zhǎng)度比在 仿射變換 中 保持不變 ； ? 在 投影變換 中上述長(zhǎng)度就 不再保持不變 ，但卻 保持交比不變 。 ? 共線四點(diǎn)的交比 僅與 在投影中心的角度 有關(guān) 。 – 從投影中心出發(fā)的四射線可與任一直線相交 ， 不管該直線是怎樣選擇的 ， 得四個(gè)交點(diǎn)將有同樣的交比 。 – 所有這樣的直線都與投影有關(guān) 。 因此 ， 在投影變換中交比保持不變 ， 即： Cr(a,b,c,d)= Cr(A,B,C,D) BACDa b cdO☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ? 交比的定義 ? 形狀因子意義 ? 形狀因子 /交比 ? NURBS權(quán)因子 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 形狀因子的幾何意義 ? 權(quán)因子 ωi僅影響定義在區(qū)間 [ui,ui+k+1]上那部分曲線的形狀 ， 對(duì)其它部分不發(fā)生影響 → 僅需考察整條曲線中的這部分 。 – 給定一個(gè) ωi便可得到一條曲線； ? 如果使 ωi在某個(gè)范圍內(nèi)變化 ， 則得到一簇曲線 。 – 如果固定曲線的參數(shù) u， 而使 ωi變化 ， 則 NURBS曲線方程變成為以 ωi為參數(shù)的直線方程 。 ? 這表明： 這一簇 NURBS曲線上參數(shù) u值相同的點(diǎn)都位于同一直線上 。 P 2 P 3 P 1 P 0 P 3 P 3 權(quán)因子 ωi的幾何意義 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ? 交比的定義 ? 形狀因子意義 ? 形狀因子 /交比 ? NURBS權(quán)因子 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 形狀因子與交比 ? 把曲線與有理基函數(shù)的記號(hào)用包含權(quán)因子為變量的記號(hào)代替： ? 當(dāng) ωi→+∞ 時(shí) ,Ri,k(u。ωi→+∞)= 1， 故該直線通過(guò)控制頂點(diǎn)： Pi=P(u。ωi→+∞) ； ? 當(dāng) ωi=0時(shí) ， Ri,k(u。ωi=0)=0；這時(shí)控制頂點(diǎn)對(duì)曲線不起作用 ，對(duì)應(yīng)得到點(diǎn)： m=P(u。ωi=0)； ? 當(dāng) ωi=1時(shí) ， 對(duì)應(yīng)得到點(diǎn)： n=P(u。ωi=1)； ? 當(dāng) ωi≠0,1時(shí) ， 相應(yīng)有點(diǎn)： p=P(u。ωi≠0,1)。 ? 可以證明： p點(diǎn)和 n點(diǎn)分直線段之比就是形狀因子 。 (Pin/nm)/(Pip/pm)=ωi 即：參數(shù)值相同的直線上四點(diǎn) Pi、 p、 n、 m的交比 。 P2P3P1P0P3P3mnp(( ωω i→→ + ∞∞ ))(( ωω i = 0)0)(( ωω i = 1)1)(( ωω i ≠≠ 0,1)0,1)ωω →→ ∞∞ωωωωωω ≠≠☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ? 交比的定義 ? 形狀因子意義 ? 形狀因子 /交比 ? NURBS權(quán)因子 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 NURBS曲線的形狀因子 ? 形狀因子的幾何意義 – 權(quán)因子 ωi等于 過(guò)控制頂點(diǎn) Pi的一條直線上 分別具 有權(quán)因子ωi=+∞,0,1和 ωi≠0,1的四個(gè)點(diǎn) Pi,m,n,p的交比 。 ? 該直線是僅改變權(quán)因子 ωi所得一簇 NURBS曲線上具有某個(gè)相同參數(shù) u的點(diǎn)集合 。 ? 這四個(gè)點(diǎn)中前三個(gè)點(diǎn)是特定點(diǎn) 。 ? 如果改變參數(shù)將得到另一條過(guò)控制頂點(diǎn) Pi的直線 。 ? 形狀因子對(duì)曲線形狀的影響 – 若 固定所有控制頂點(diǎn) 及 除 ωi外所有其它權(quán)因子不變： ? 當(dāng) ωi變化時(shí) ， p點(diǎn)隨之移動(dòng) ， 它在空間掃描出一條過(guò)控制頂點(diǎn) Pi的一條直線 。 – 權(quán)因子 ωi的減小和增加起到了對(duì)曲線形狀相對(duì)于頂點(diǎn) Pi的推拉作用 。 ? ωi→+∞ 時(shí) ， p趨近與控制頂點(diǎn) Pi重合 。 ? ωi增加 ， 則曲線在受影響范圍內(nèi)被 拉向 控制頂點(diǎn) Pi； ? ωi減小 ， 則曲線在受影響范圍內(nèi)被 推離 控制頂點(diǎn) Pi。 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ? 交比的定義 ? 形狀因子意義 ? 形狀因子 /交比 ? NURBS權(quán)因子 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 NURBS曲線形狀修改 ? 像非有理 B樣條曲線那樣 ， NURBS曲線也可按所取節(jié)點(diǎn)向量劃分成四種類型 。 ? 非有理 B樣條曲線的 DeBoor算法求曲線上的點(diǎn) 、 插入節(jié)點(diǎn) 、 升階等都可以推廣到 NURBS曲線 。 ? 這些算法都應(yīng)對(duì)高一維的帶權(quán)控制頂點(diǎn)執(zhí)行 ，然后 ， 取其在 ω=1超平面上的投影即為所求 。 ? 采用 NURBS方法可以將順序相連的各種連續(xù)性的各種非有理與有理 B233。zier曲線 、 非有理和有理 B樣條曲線在更高層次上組合 。 ? 采用類似非有理 B樣條的組合方法 ， 組合在一起 ，用一個(gè)統(tǒng)一方程表示 ， 成為最具一般意義的 NURBS曲線 。 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ? 控制頂點(diǎn)定位 ? 反插節(jié)點(diǎn) ? 權(quán)因子重確定 ? 修改界定部分 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 重新定位控制頂點(diǎn) ? 最簡(jiǎn)單的形狀修改方法是移動(dòng)控制頂點(diǎn) 。 ? 設(shè)已給一條 k次 NURBS曲線 。 若指定該曲線 參數(shù)為 u的點(diǎn) p、 一個(gè)方向矢量 c和 一個(gè)距離 s， 那么 ， 控制頂點(diǎn) Pi移到新位置 P’i使曲線上點(diǎn) p沿 c移動(dòng)距離 s到新位置 p’： ? 待移動(dòng)控制頂點(diǎn)的選擇必須適當(dāng) ， 否則將事與愿違 。 ? 當(dāng)指定曲線上一點(diǎn) p， 該點(diǎn)的參數(shù) u可能已知或由反算得到 。u所在節(jié)點(diǎn)區(qū)間 u∈ [uj,uj+1]也就確定 ， 曲線上該點(diǎn)至多與k+1個(gè)控制頂點(diǎn) Pjk,Pjk+1,… ,Pj有關(guān) 。 因此 ， 所選頂點(diǎn)應(yīng)是這 k+1個(gè)頂點(diǎn)之一 、 且應(yīng)考慮取 這 k+1個(gè)頂點(diǎn) 中 對(duì)曲線上 p點(diǎn)影響最大的頂點(diǎn) 或 某個(gè)合適的頂點(diǎn) 。 ? 最大影響頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)于 p點(diǎn)參數(shù) u處的一組有理基函數(shù)中取最大值的那個(gè)基函數(shù) 。 ? 實(shí)踐中常以曲線的分段點(diǎn)為曲線上要移動(dòng)的點(diǎn) 。 ? ? ? ? ? ?? ?? ? cPPuRcppsuRcPuRPpikinjikjjkii????