16752線性微分方程組的一般理論(編輯修改稿)
2024-11-22 21:40 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 是線性相關 , 12, , , nc c c ??則存在不全為零的常數(shù) , 使得( ) 成立當然有 1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0nnc x t c x t c x t? ? ? ?12( ) , ( ) , ( )nx t x t x t這表明 線性相關. 從而 ,從 Wronsky行列式的概念可看出 ,從本節(jié)定理 3,4,5立即分別推出第四章定理 3,4,5. 從本節(jié)定理 6立即得到 齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu) 推論 2 12( ) , ( ) , ( )nx t x t x t n如果 是 階微分方程11 1( ) ( ) 0 ( 5 . 2 1 )nnnnnd x d xa t a t xd t d t??? ? ? ?。 ( ) ( 1 , 2 , , ),in a t i n a t b? ? ?個 線 性 無 關 解 其 中 是 上連 續(xù) 函 數(shù) ()xt則( 5 . 2 1 ) 的任一解 可表為1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )nnx t c x t c x t c x t? ? ? ?12, , , 。 .nc c c這里 是相應確定的常數(shù)齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu) 5 解矩陣與基解矩陣及性質(zhì) (1)定義 ( 5 ) ,nn ?如果一個 矩陣的每一列都是 的解則稱這個矩陣為 ()的 解矩陣 . [ , ] ( 5 .1 5 ) ,ab如 果 該 矩 陣 的 列 在 是 的 線 性 無 關 解 組則稱該解矩陣為 ()的 基解矩陣 . 基解矩陣 以基本解組為列構(gòu)成的矩陣 . 12( ) , ( ) , ( )()nt t tt? ? ??以 () 基 本 解 組 為 列 構(gòu) 成 的矩 陣 , 用 表 示 , 即12( ) [ ( ) , ( ) , ( ) ] .nt t t t? ? ???齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu) *(2) 定理1( 5 . 1 5 ) ( ) ,( ) ( 5 . 1 5 ) ,tt??一 定 存 在 一 個 基 解 矩 陣如 果 是 的 任 一 解 那 么( ) ( ) , ( )t t C? ??.n這 里 C 是 確 定 的 維 向 量 *(3) 定理2 ()t?() 的 解 矩 陣 是 基 解 矩 陣 充 要 條 件 是 :00d e t ( ) 0 ( ) , , [ , ] ,d e t ( ) 0 , d e t ( ) 0 , .t a t b t a bt t a t b? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?而 且 如 果 對 某 一則由定理 5,6得 由定理 3,4得 齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu) 注 1: 行列式恒等于零的矩陣列向量未必線性相關 . 如矩陣 21010 0 0ttt??????????注 2: ??nn 矩陣 (t)是()基解矩陣充要條件是:39。 ( ) ( ) ( ) , 。t A t t a t b? ? ? ? ?00[ , ] de t ( ) a b t? ? ? ?且使齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu) 例 3 驗證 ()0ttte tete???? ????是方程組 139。211,01xx x xx???????????? ??其中 的基解矩陣 . 解 : 由于 39。 ( 1 )()0ttte e tte?? ??? ????1101??????? 0ttte tee??????1101???????()t??故 (t)是解矩陣,又由于 d e t ( )0ttte tete??2 0te??()t?所 以 是 基 解 矩 陣 ,齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu) *推論1? ? ?? ? ? ?如果 ( t ) 是( 5 . 1 5 ) 在a t b 基解矩陣, C 是非奇異n n 常數(shù)矩陣, 那么 ( t ) C 也是在區(qū)間a t b 上的基解矩陣.?由于()基 解矩陣 (t)滿足證明 : 39。 ( ) ( ) ( ) , 。t A t t a t b? ? ? ? ?( ) ( ) , 。t t C a t b? ? ? ? ?令則39。39。( ) ( )t t C? ? ? ( ) ( )A t t C?? ( ) ( )A t t???故 (t )為 (5 .1 5) 的解矩陣, 又由C的非 奇異性de t ( ) de t ( ) de t 0 ,t t C a t b? ? ? ? ? ?, ( ) ( ) ( 5 ) .t t C??因 此 即 是 的 基 解 矩 陣齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu) *推論2( ) , ( ) ( 5 ), , , ( ) ( ) .t t a t bn n Ca t b t t C? ? ? ??? ? ? ? ?如 果 是 在 上 兩 個 基 解矩 陣 那 么 存 在 一 個 非 奇 異 常 數(shù) 矩 陣 使 得 在 區(qū)間 上 有證明 : ()t?由 于 是 基 解 矩 陣 ,1 ()t??故 其 逆 矩 陣 存 在 ,1 ( ) ( ) ( ) ,t t X t?? ? ?令 ( ) ( ) ( ) ,t t X t? ? ?即( ) ,X t n n?則 是 可 微 矩 陣 且de t ( ) 0 , 。X t a t b? ? ?于是有 39。( ) ( ) ( )A t t t? ? ? 39。39。( ) ( ) ( ) ( )t X t t X t? ? ? ?39。( ) ( ) ( ) ( ) ( )A t t X t t X t? ? ? ?39。( ) ( ) ( ) ( ) , 。A t t t X t a t b? ? ? ? ? ?由此可得 39。( ) ( ) 0 ,t X t??齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu) 39。 ( ) 0 , 。X t a t b? ? ?即( ) ,x t n n C?故 為 常 數(shù) 矩 陣 且 非 奇 異 記 作即有 ( ) ( ) ,t t C? ? ?例 4 驗證 33()tttteetee???? ?????是方程組 39。 21 ,12xx??? ????基解矩陣 ,并求其通解 . 解 : ( ) , ( ) ( ) ,t t t?? ?12分別用 表示矩陣 的第一 二列,即33( ) , ( ) ,tttteettee??? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ?12齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu) 39。1 ()ttete???? ?????2112???????ttee???????2112??????? ()t?1339。2 33()3ttete???? ????2112???????33ttee??????2112???????()t?2( ) , ( ) ,tt??12因此 是方程組的解 ( ) ,t?即 為解矩陣又由于 33d e t (
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