16752線性微分方程組的一般理論-文庫(kù)吧
2025-09-13 21:40 本頁(yè)面
【正文】 2 0 0( ) ( ) ( ) 0 , ( 5 .1 7 )nnc x t c x t c x t? ? ? ?現(xiàn)在考慮函數(shù)向量 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )nnx t c x t c x t c x t? ? ?由定理 2知 , ( ) ( 5 ) ,xt 是 的解齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu) 由 ()知 , ()xt該解 滿足初始條件 0( ) 0xt ?因此 ,由解的存在唯一性定理知 , ( ) 0xt ?即有 1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0 ,nnc x t c x t c x t a t b? ? ? ? ? ?12( ) , ( ) , ( )nx t x t x t a t b??故解組 在 上線性相關(guān),矛盾 注 1: 12( ) , ( ) , ( )nx t x t x t ?()n 個(gè)解 線性相關(guān)( ) 0 , .W t a t b? ? ?注 2: 12( ) , ( ) , ( )nx t x t x t ?()n 個(gè)解 線性無(wú)關(guān)( ) 0 , .W t a t b? ? ?12( ) , ( ) , ( )nn x t x t x t即 () 個(gè) 解 所 構(gòu) 成 的Wronsky 行 列 式 , 或 者 恒 等 于 零 , 或 者 恒 不 等 于 零 .齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu) (4)定理 5 ()一定存在 n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解 . 證明 : 0 [ , ],t a b?任取由解的存在唯一性定理知 , ()一定存在滿足初始條件 1 0 2 0 01 0 00 1 0( ) , ( ) , , ( )0 0 1nx t x t x t? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?12( ) , ( ) , ( ) 。 [ , ]nx t x t x t t a b?的解且 0 1 0 2 0 0( ) [ ( ) , ( ) , ( ) ] 1 0nW t W x t x t x t? ? ?12( ) , ( ) , ( )nx t x t x t a t b??故 在 上線性無(wú)關(guān).齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu) 4 通解結(jié)構(gòu)及基本解組 定理 6 12( ) , ( ) , ( )nx t x t x t如果 是( 5 . 1 5 ) n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的解, 則1()niiix c x t??1 2 n(1) (t) = 是(5. 15) 的通解,其中c ,c , c 是任常數(shù).12( 2 ) ( 5 .1 5 ) ( )( ) , ( ) , ( )nxtx t x t x t的任一解 均可表為的線性組合.證明 : 由已知條件 , 1()niiix c x t n??(t)= 是 () 的 解 , 它 含 個(gè) 任 常 數(shù) ,齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu) 又因?yàn)? 1212( , , , )( , , , )nnx x xc c c??11 12 121 22 212( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )nnn n nnx t x t x tx t x t x tx t x t x t?()Wt? 0?,1 2 n故c , c , c 彼此獨(dú)立1()niiix c x t??于是 ( t ) = 是( 5 . 1 5 ) 的通解.( 2 ) ( ) ( 5 .1 5 )xt設(shè) 是 的任一解, 00( ) ,x t x?且12( ) , ( ) , ( ) 5 )nx t x t x t n因 是 ( 個(gè) 線 性 無(wú) 關(guān) 的 解 ,從而可知 1 0 2 0 0( ) , ( ) , ( )nx t x t x t數(shù)值向量組 線性無(wú)關(guān),齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu) 即它們構(gòu)成 n維線性空間的基 , 00( ) ,x t x?故對(duì)向量,1 2 n一定存在唯一確定常數(shù)c ,c , c 滿足0 1 1 0 2 2 0 0( ) ( ) ( ) ( ) , ( 0)nnx t c x t c x t c x t? ? ? ?現(xiàn)在考慮函數(shù)向量 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )nnx t c x t c x t c x t? ? ? ?由定理 2知 , ( ) ( 5 ) ,xt 是 的解由 ()知 , ()xt該解 滿足初始條件 0 0 0( ) ( )x t x t x??因此 ,由解的存在唯一性定理 ,應(yīng)有 ( ) ( )x t x t?即 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )nnx t c x t c x t c x t? ? ? ?齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu) 推論 1 ()的線性無(wú)關(guān)解的最大個(gè)數(shù)等于 n. 基本解組 : 12( ) , ( ) , ( ) 。nx t x t x t()n 個(gè)線性無(wú)關(guān)解為 ()的一個(gè)基本解組 . 注 1: ()的基本解組不唯一 . 注 2: ()所有解的集合構(gòu)成一個(gè) n維線性空間 . 注 3: 由 n階線性微分方程的初值問(wèn)題 ()與線性微分方組的初值問(wèn)題 ()的等價(jià)性描述 ,本節(jié)所有定理都可平行推論到 n階線性微分方程去 . 齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu) 首先有 : 12( ) , ( ) , ( )nx t x t x t一組( n 1 ) 次可微的純量函數(shù)線性相關(guān)的充要條件是, 向量函數(shù)1239。39。39。12( 1 )( 1 ) ( 1 )12()( ) ( )()( ) ( ), , , 。 ( )()( ) ( )nnnnnnxtx t x txtx t x txtx t x t?????? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??線性相關(guān) . 證明 : 12( ) , ( ) , ( )nx t x t x t設(shè) 線性相關(guān),12, , , nc c c則存在不全為零的常數(shù) ,使得1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0nnc x t c x t c x t? ? ? ?將上式對(duì)t微分一次,二次, ,n1次得齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu) 39。 39。 39。1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0nnc x t c x t c x t? ? ? ?39。39。 39。39。 39。39。1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0nnc x t c x t c x t? ? ? ?( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0n n nnnc x t c x t c x t? ? ?? ? ? ?即有 1239。39。39。1212( 1 )( 1 ) ( 1 )12()( ) ( )()( ) ( )0 , ( )()( ) ( )nnnnnnnxtx t x txtx t x tc c cxtx t x t?????? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??即向量組 (*)是線性相關(guān)的 . 齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu) 反之 , 如果向量組 (*)
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