【文章內(nèi)容簡介】 以是　 ▲ ?。敬鸢浮?5176。或165176。【考點】正方形和正三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。【分析】正三角形AEF可以在正方形的內(nèi)部也可以在正方形的外部，所以要分兩種情況分別求解： ①當正三角形AEF在正方形ABCD的內(nèi)部時，如圖1，∵正方形ABCD與正三角形AEF的頂點A重合，∴AB=AD，AE=AF?！弋擝E=DF時，在△ABE和△ADF中，AB=AD，BE=DF，AE=AF，∴△ABE≌△ADF（SSS）?！唷螧AE=∠FAD?！摺螮AF=60176。，∴∠BAE+∠FAD=30176?！唷螧AE=∠FAD=15176。②當正三角形AEF在正方形ABCD的外部，順時針旋轉(zhuǎn)小于1800時，如圖2，同上可得△ABE≌△ADF（SSS）?！唷螧AE=∠FAD。∵∠EAF=60176。，∴∠BAF=∠DAE。∵900＋600＋∠BAF＋∠DAE=3600，∴∠BAF=∠DAE=105176?！唷螧AE=∠FAD=165176。③當正三角形AEF在正方形ABCD的外部，順時針旋轉(zhuǎn)大于1800時，如圖3，同上可得△ABE≌△ADF（SSS）?！唷螧AE=∠FAD。∵∠EAF=60176。，∠BAE=90176。，∴90176。＋∠DAE=60176。＋∠DAE，這是不可能的?！啻藭r不存在BE=DF的情況。綜上所述，在旋轉(zhuǎn)過程中，當BE=DF時，∠BAE的大小可以是15176?；?65176。20. （2012吉林省3分）如圖，在等邊△ABC中，D是邊AC上一點，連接BD．將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60176。得到△BAE，連接ED．若BC=10，BD=9，則△AED的周長是_ ▲____.【答案】19。【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥俊摺鰾CD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60176。得到△BAE， ∴根據(jù)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得，CD= AE，BD=BE?！摺鰽BC是等邊三角形，BC=10，∴AC= BC=10?！郃E＋AD=AC=10。又∵旋轉(zhuǎn)角∠DBE=600，∴△DBE是等邊三角形?！郉E=BD=9?！唷鰽ED的周長=DE＋AE＋AD=9＋10=19。21. （2012內(nèi)蒙古包頭3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A 在x上，△ABO是直角三角形，∠ABO=900，點B 的坐標為（－1，2），將△ABO繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)900，得到△Al BlO，則過A1, B兩點的直線解析式為 ▲ 。【答案】y=3x＋5?！究键c】勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)， 待定系數(shù)法，直線上點的坐標與方程的關系。【分析】設A（a，0），∵點B 的坐標為（－1，2），∴OA=－a，OB2=12＋22=5，AB2=（－1－a）2+22= a2+2 a+5?！摺螦BO=900，∴OA2= AB2＋OB2，即a2= a2+2 a+5+5，解得a=－5。即A（－5，0）?！摺鰽BO繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)900，得到△Al BlO，∴Al（0，5）。設過A1 、B 兩點的直線解析式為y=kx＋b，則，解得。∴過A 、B 兩點的直線解析式為y=3x＋5。22. （2012黑龍江哈爾濱3分）如圖，平行四邊形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30176。，得到平行四邊形AB′C′D′（點B′與點B是對應點，點C′與點C是對應點，點D′與點D是對應點），點B′恰好落在BC邊上則∠C= ▲ 度．【答案】105?！究键c】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理?！痉治觥俊咂叫兴倪呅蜛BCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30176。，得到平行四邊形AB′C′D′（點B′與點B是對應點，點C′與點C是對應點，點D′與點D是對應點），∴AB=AB′，∠BAB′=30176。∴∠B=∠AB′B=（180176。30176。）247。2=75176?！唷螩=180176。75176。=105176。三、解答題1. （2012北京市7分）在中，M是AC的中點，P是線段BM上的動點，將線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得到線段PQ。 （1） 若且點P與點M重合（如圖1），線段CQ的延長線交射線BM于點D，請補全圖形，并寫出∠CDB的度數(shù)； （2） 在圖2中，點P不與點B，M重合，線段CQ的延長線與射線BM交于點D，猜想∠CDB的大?。ㄓ煤拇鷶?shù)式表示），并加以證明； （3） 對于適當大小的，當點P在線段BM上運動到某一位置（不與點B，M重合）時，能使得線段CQ的延長線與射線BM交于點D，且PQ=QD，請直接寫出的范圍。【答案】解：（1）補全圖形如下：∠CDB=30176。（2）作線段CQ的延長線交射線BM于點D，連接PC，AD，∵AB=BC，M是AC的中點，∴BM⊥AC?！郃D=CD，AP=PC，PD=PD。在△APD與△CPD中，∵AD=CD， PD=PD， PA=PC∴△APD≌△CPD（SSS）?！郃P=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD。又∵PQ=PA，∴PQ=PC，∠ADC=2∠CDB，∠PQC=∠PCD=∠PAD?！唷螾AD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180176?！唷螦PQ+∠ADC=360176。－（∠PAD+∠PQD）=180176?！唷螦DC=180176。－∠APQ=180176。－2α，即2∠CDB=180176。－2α?！唷螩DB=90176。－α。（3）45176。＜α＜60176。【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）利用圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定得出△CMQ是等邊三角形，即可得出答案：∵BA=BC，∠BAC=60176。，M是AC的中點，∴BM⊥AC，AM=AC?！邔⒕€段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)2α得到線段PQ，∴AM=MQ，∠AMQ=120176。 ∴CM=MQ，∠CMQ=60176。∴△CMQ是等邊三角形?！唷螦CQ=60176。∴∠CDB=30176。（2）首先由已知得出△APD≌△CPD，從而得出∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180176。，即可求出。（3）由（2）得出∠CDB=90176。－α，且PQ=QD，∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180176。－2α?！唿cP不與點B，M重合，∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD?！?α＞180176。－2α＞α，∴45176。＜α＜60176。2. （2012寧夏區(qū)8分）正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點,且∠EDF=45176。將△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90176。，得到△DCM。（1）求證：EF=FM （2）當AE=1時，求EF的長?！敬鸢浮?解：(1) 證明：∵△DAE逆時針旋轉(zhuǎn)90176。得到△DCM，∴DE=DM，∠EDM=90176。∴∠EDF + ∠FDM=90176。∵∠EDF=45176。，∴∠FDM =∠EDF=45176?！逥F= DF ，∴△DEF≌△DMF（SAS）。∴EF=MF。（2）設EF=x ?！逜E=CM=1 ，∴ BF=BM－MF=BM－EF=4－x 。 ∵ EB=2，∴在Rt△EBF中，由勾股定理得，即解得， 。 ∴EF的長為?！究键c】正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得DE=DM，∠EDM為直角，可得出∠EDF+∠MDF=90176。，由∠EDF=45176。，得到∠MDF為45176。，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF與三角形MDF全等，由全等三角形的對應邊相等可得出EF=MF。（2）由（1）的全等得到AE=CM=1，正方形的邊長為3，用AB－AE求出EB的長，再由BC+CM求出BM的長，設EF=MF=x，可得出BF=BM－FM=BM－EF=4－x，在Rt△EBF中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為EF的長。3. （2012廣東珠海7分） 如圖，把正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45176。得到正方形A′B′CD′（此時，點B′落在對角線AC上，點A′落在CD的延長線上），A′B′交AD于點E，連接AA′、CE．求證：（1）△ADA′≌△CDE；（2）直線CE是線段AA′的垂直平分線．【答案】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90176?！唷螦′DE=90176。根據(jù)旋轉(zhuǎn)的方法可得：∠EA′D=45176。，∴∠A′ED=45176。∴A′D=DE?！咴凇鰽D A′和△CDE中，AD=CD，∠EDC=∠A′DA=90176。，A′D=DE，∴△ADA′≌△CDE（SAS）。（2）∵AC=A′C，∴點C在AA′的垂直平分線上?！逜C是正方形ABCD的對角線，∴∠CAE=45176?！逜C=A′C，CD=CB′，∴AB′=A′D?！咴凇鰽EB′和△A′ED中，∠EAB′=∠EA′D，∠AEB′=∠A′ED，AB′=A′D，∴△AEB′≌△A′ED（AAS）?！郃E=A′E。∴點E也在AA′的垂直平分線上?！嘀本€CE是線段AA′的垂直平分線?！究键c】正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定?！痉治觥浚?）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=CD，∠ADC=90176。，∠EA′D=45176。，則∠A′DE=90176。，再計算出∠A′ED=45176。，根據(jù)等角對等邊可得AD=ED，即可利用SAS證明△AA′D≌△CED。（2）首先由AC=A′C，可得點C在AA′的垂直平分線上；再證明△AEB′≌△A′ED，可得AE=A′E，從而得到點E也在AA′的垂直平分線上，根據(jù)兩點確定一條直線可得直線CE是線段AA′的垂直平分線。4. （2012浙江義烏10分）在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45176。，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1BC1．（1）如圖1，當點C1在線段CA的延長線上時，求∠CC1A1的度數(shù)；（2）如圖2，連接AA1，CC1．若△ABA1的面積為4，求△CBC1的面積；（3）如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點P的對應點是點P1，求線段EP1長度的最大值與最小值．【答案】解：（1）∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A1C1B=∠ACB=45176。，BC=BC1， ∴∠CC1B=∠C1CB=45176?！唷螩C1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45176。+45176。=90176。（2）∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：△ABC≌△A1BC1，∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1?！?，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1。∴∠ABA1=∠CBC1。∴△ABA1∽△CBC1?！??！逽△ABA1=4，∴S△CBC1=。（3）過點B作BD⊥AC，D為垂足，∵△ABC為銳角三角形，∴點D在線段AC上。在Rt△BCD中，BD=BCsin45176。=。①如圖1，當P在AC上運動至垂足點D，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應點P1在線段AB上時，EP1最小。最小值為：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=﹣2。②如圖2，當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大。最大值為：EP1=BC+BE=5+2=7?！究键c】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A1C1B=∠ACB=45176。，BC=BC1，又由等腰三角形的性質(zhì)，即可求得∠CC1A1的度數(shù)。（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：△ABC≌△A1BC1，易證得△ABA1∽△CBC1，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面積。（3）由①當P在AC上運動至垂足點D，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應點P1在線段AB上時，EP1最??；②當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，即可求得線段EP1長度的最大值與最小值。5. （2012江蘇宿遷12分）(1)如圖1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC邊上的兩點，且滿足∠DBE=∠ABC(0176。＜∠CBE＜∠ABC)。以點B為旋轉(zhuǎn)中心，將△BEC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)∠ABC，得到△BE’A（點C與點A重合，點E到點E’處），連接DE’。求證：DE’=DE. （2）如圖2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90176。，D，E是AC邊上的兩點，且滿足∠DBE=∠ABC(0176。＜∠CBE＜45176。).求證：DE2=AD2+EC2.[來:學科網(wǎng)]【答案】證明：（1）∵△BE’A是△BEC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)∠ABC得到， ∴BE’=BE，∠E’BA=∠EBC。 ∵∠DBE=∠ABC，∴∠ABD＋∠EBC =∠ABC。 ∴∠ABD＋∠E’BA =∠ABC，即∠E’BD=∠ABC?！唷螮’BD=∠DBE。 在△E’BD和△EBD中，∵BE’=BE，∠E’BD=∠DBE，BD=BD， ∴△E’BD≌△EBD（SAS）?！郉E’=DE。（2）以點B為旋轉(zhuǎn)中心，將△BEC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)∠ABC=90176。，得到△BE’A（點C與點A重合，點E到點E’處），連接DE’。 由（1）知DE’=DE。 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，知E’A=EC，∠E’ AB=∠ECB。 又∵BA=BC，∠ABC=90176。，∴∠BAC=∠ACB=45176。 ∴∠E’ AD=∠E’ AB＋∠BAC=90176。 在Rt△DE’A中，DE’2=AD2+E’A2，∴DE2=AD2+EC2?！究键c】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰（直角）三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥浚?）由旋轉(zhuǎn)的