挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸試題因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題(編輯修改稿)
2025-02-10 00:23 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ，∠B＝60176。，AB＝10，BC＝4，點(diǎn)P沿線段AB從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)AP＝x．21cnjy（1）求AD的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以A、P、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、B為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）設(shè)△ADP與△PCB的外接圓的面積分別為SS2，若S＝S1＋S2，求S的最小值. 動(dòng)感體驗(yàn) 圖1請(qǐng)打開幾何畫板文件名“14益陽(yáng)21”，拖動(dòng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，圓心O的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段BC的垂直平分線上的一條線段．觀察S隨點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的圖象，可以看到，S有最小值，此時(shí)點(diǎn)P看上去象是AB的中點(diǎn)，其實(shí)離得很近而已．思路點(diǎn)撥1．第（2）題先確定△PCB是直角三角形，再驗(yàn)證兩個(gè)三角形是否相似．2．第（3）題理解△PCB的外接圓的圓心O很關(guān)鍵，圓心O在確定的BC的垂直平分線上，同時(shí)又在不確定的BP的垂直平分線上．而BP與AP是相關(guān)的，這樣就可以以AP為自變量，求S的函數(shù)關(guān)系式．圖文解析（1）如圖2，作CH⊥AB于H，那么AD＝CH．在Rt△BCH中，∠B＝60176。，BC＝4，所以BH＝2，CH＝．所以AD＝．（2）因?yàn)椤鰽PD是直角三角形，如果△APD與△PCB相似，那么△PCB一定是直角三角形．①如圖3，當(dāng)∠CPB＝90176。時(shí)，AP＝10－2＝8．所以＝＝，而＝．此時(shí)△APD與△PCB不相似．圖2 圖3 圖4②如圖4，當(dāng)∠BCP＝90176。時(shí)，BP＝2BC＝8．所以AP＝2．所以＝＝．所以∠APD＝60176。．此時(shí)△APD∽△CBP．綜上所述，當(dāng)x＝2時(shí)，△APD∽△CBP．（3）如圖5，設(shè)△ADP的外接圓的圓心為G，那么點(diǎn)G是斜邊DP的中點(diǎn)．設(shè)△PCB的外接圓的圓心為O，那么點(diǎn)O在BC邊的垂直平分線上，設(shè)這條直線與BC交于點(diǎn)E，與AB交于點(diǎn)F．設(shè)AP＝2m．作OM⊥BP于M
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