【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 坐標(biāo)系，此時(shí)有 ? 同樣處理另外兩個(gè)方向，可得慣量張量為對(duì)角陣 本征向量坐標(biāo)系中的慣量張量 1 1 1 1 1 11 2 1 1 1 13 1 11 1 1 2 1 3 10000, 0 , 0II I III I Iw w l wwlwl? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?ω ω123000000Illl????? ????? 一般情況下，本體坐標(biāo)系并非本征向量坐標(biāo)系，但可以通過(guò)一次旋轉(zhuǎn)，從本征向量坐標(biāo)系（不帶撇）變換到一般的本體坐標(biāo)系（帶撇）。旋轉(zhuǎn)矩陣 R為歸一化的 3個(gè)本征列向量并排排列得到。 ? 旋轉(zhuǎn)矩陣 R滿足正交歸一的條件，其逆矩陣即為自身的轉(zhuǎn)置。 本體坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換 3121 2 3( , , ) , , Tx x x xR y R y y R yz z z zw w w??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?ωω ω,TTTI R I R II R I R I R I R? ? ? ?? ? ???? ? ?L ω L ω ω? 慣量張量的對(duì)角項(xiàng)是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，特別是取本征向量坐標(biāo)系時(shí)，慣量張量只有對(duì)角項(xiàng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不為零。當(dāng)質(zhì)心不在轉(zhuǎn)軸上時(shí)，有平行軸定理 ? 均勻?qū)ΨQ簡(jiǎn)單幾何體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ? 這里 Lx Ly 是物體在 x和 y方向的尺度。 N是與幾何體形狀有關(guān)的正整數(shù)（方 3，圓 4，球 5）。 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2 2 2 222( ) ( ) ( ( ) )[ ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ]2 ( ) ( )x x i i i i i x i c i xi i ii c x c x i x i xic c x i i x x x c x xiI m y z m mmI m I I I?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ???r e r r er e r e r e r er e r e221 ()z z x yI m L LN??轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算 長(zhǎng)方體a*b*c 圓柱體 pa2*H 橢球體4pa*b*c/3 球殼 4p(a3b3)/3 22()12m bc? 22()12m ac? 22()12m ab?22ma22()4 12ahm ?22()4 12ahm ?22()5m bc? 22()5m ac? 22()5m ab?553325m a bab??553325m a bab??553325m a bab??第 27次課 作業(yè)： ， ， ， ? 定義任意方向的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I 使得剛體繞該方向軸線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)能為 ? 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I 與方向有關(guān)，當(dāng)然與角速度大小無(wú)關(guān)。沿軸線方向截取長(zhǎng)度為 的點(diǎn)，當(dāng)方向變動(dòng)時(shí)，該點(diǎn)的軌跡就是一個(gè)橢球面： ? 這即為慣量橢球。 慣量橢球 211 ,22T I I I Iw ww? ? ? ? ? ? ? ?ω ωω ω1 I1 2 32 2 21 2 31,1x x y y z zI I I I I III x I y I zw w w? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?ω ω ωr e e e e e e? 利用主軸方向的 3個(gè)主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可方便地構(gòu)建慣量橢球。 ? 對(duì)于任意方向，從慣量橢球面到中心的距離 d，可得到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I=d2 從而可計(jì)算動(dòng)能 T=I w2/2。 ? 角動(dòng)量的方向就是橢球面的法線方向。事實(shí)上，沿著橢球面法線方向即為橢球方程左端的梯度方向： ? 慣量橢球是較“圓”的橢球，因?yàn)槊總€(gè)主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量都不大于其他兩個(gè)主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和（由定義可證），因而橢球的 3個(gè)軸相差不大。 慣量橢球的應(yīng)用 2 2 21 2 3 1 2 3( 1 ) 2 ( )1222x y zI x I y I z I x I y I zIIIIw w? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?n e e eω Lr? 求均質(zhì)圓錐體的慣量張量，原點(diǎn)在底面圓心。 舉例 242( 1 / ) 22 2 40 0 0 03 4 22 2 2 2 22002223, 0 ,3( c os ) ( 1 )4 2032( 1 ) ( ) ,103( 2 3 ) ,20 10x y x z y zh a z h hVhhVx x y y zzmI I Iaha z max dV dz r rdr d dzhz m z z mhz dV z a dz z dzh h h hm maI I h a Iprpprr r q qr r p?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? 均質(zhì)立方體頂點(diǎn)位于原點(diǎn)且三個(gè)邊分別位于三個(gè)坐標(biāo)軸上，邊長(zhǎng)為 a。求慣量張量并做對(duì)角化。 舉例 552 2 2322233222221 2 3221 2 32( ) ( )3 3 312 2 42 1 3 2( ) ( ) 03 32 16 32 1 2 1 11( ) ( ) 0 , ,3 2 3 4 6 121 1 1( ) , [ , ] [ ( ) , (3 2 6x x y y zzVx y x z y zVx y z x y xm a aI y z dV m a I Iam a aI x y dV a m a I Iam a m amamam a m arrlllll l l? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???e e e e e e e e e 2 ) ]yz?? ee? 牛頓矢量力學(xué)對(duì)剛體定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)問(wèn)題的處理。在本體坐標(biāo)系中： 歐拉動(dòng)力學(xué)方程 1 2 31 2 31 3 22 1 33 2 1,()()()x x y y z zx x y y z zx x y y z zx x y zy y x zz z x yI I IdI I IdtM I I IM I I IM I I Iw w ww w ww w ww w ww w w? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?L e e ee ω ee ω ee ω eLM e e e ω L? 拉格朗日方程處理剛體定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，結(jié)果不變。 以拉格朗日法求方程 2 2 21 2 331()2sin sin c o ssin c o s sinc o s0 , 1 ,x y zxyzyx zzT I I Id T TQdtTIyw w ww j q y q yw j q y q yw j q yyyww wwy y y y? ? ??? ??????????????? ????? ?????????? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 由角速度的歐拉角表達(dá)式得 ? 求 w 對(duì) y 偏導(dǎo)時(shí)， y 增加對(duì)本體坐標(biāo)系中的矢量是反向旋轉(zhuǎn)，而求力矩時(shí)在空間坐標(biāo)系中，是正向旋轉(zhuǎn)。 ? 依對(duì)稱性同樣可得 x和 y方向的動(dòng)力學(xué)方程。 拉格朗日法得到歐拉動(dòng)力學(xué)方程 1 2 3 1 23 1 2( ) ( )yx zx y z x y y xz x y z zTI I I I IQ I I I Myww ww w w w w w wy y y yw w wy?? ??? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ??rF F e rzy? ? ? ??ω e ω? 四元數(shù)處理剛體定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，結(jié)果不變。 四元數(shù)的動(dòng)力矩方程 ** * ** * ***1 2 323()11()221( 2 ) ( ) ,2,()1,2x y zxyxdL d dq dL dqM q L q L q q q q Ldt dt dt dt dtdLq L q q q q L qdtdL dLq L L q q L qdt dtdLM L L I i I j I kdtM I Iddqqdt dtwww w ww w w wwww?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ?13 1 1 223,( ) ( ),zy y x z z x yzId M I I M I Iddt I dt Iww w w w ww??? ? ? ???? 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體不受外力矩（或合外力矩為 0），稱為自由剛體。由于總力矩為 0，因而角動(dòng)量守恒。又約束轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)沒(méi)有力矩做功，剛體的動(dòng)能守恒。當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，角動(dòng)量的本體坐標(biāo)分量會(huì)不斷變化，但它的大小不會(huì)變化。因此有兩個(gè)守恒量： ? 當(dāng)然也可以直接積分得到這兩個(gè)守恒量。力矩方程分別點(diǎn)乘 w積分，或者點(diǎn)乘（ I1wx， I2wy， I3wz）積分即可。 自由轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體 2 2 21 2 32 2 2 2 2 2 21 2 32x y zx y zI I I TI I I Lw w w? ? ?? ? ?? 從中解出以 wz表示的 wx， wy： ? 可以解析求解，得到關(guān)于第一類不完全橢圓積分的特殊函數(shù)，由于數(shù)學(xué)上繁瑣就不再詳解和討論。 自由轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體求解 222 2 3 3 21 1 2222 1 3 3 12 2 13 1 22 ( ), ( )()2 ( ), ( )()( ) [ ( ) ] [ ( ) ] 0zx x x zzy y y zz x z y zL T I I I II I IL T I I I II I II I Iww w w www w w ww w w w w? ? ?? ? ??? ? ?? ? ??? ? ?? 以本體坐標(biāo)系中的慣量橢球代表剛體，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度 w與慣量橢球交點(diǎn) Q處，有固定的切平面。這是因?yàn)榍忻娴姆ň€方向即為守恒的角動(dòng)量的方向，因此切平面都是彼此平行的；同時(shí)，原點(diǎn) O到切平面的距離也固定： ? 而 Q點(diǎn)也是轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心，因此，轉(zhuǎn)動(dòng)的空間極跡在此固定平面內(nèi)，本體極跡在慣量橢球上。慣量橢球在平面上做（原點(diǎn) O固定的）純滾動(dòng)。 自由轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的幾何圖示 22 c o n s ta n t2TTH O QL L LI T Lw? ? ? ? ? ? ?L ω L? 可以看出，如果有兩個(gè)主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相同，慣量橢球就是軸對(duì)稱的，其空間極跡就是一個(gè)圓，轉(zhuǎn)軸 OQ繞著角動(dòng)量 L的方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，可以解析求解。如果慣量橢球不是軸對(duì)稱的，空間極跡的曲線就會(huì)比較復(fù)雜，不易求解。 自由轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的極跡 Q L O 作業(yè)： ， ， ， 第 28次課 ? 自由轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，如果主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中有兩個(gè)相同，稱為對(duì)稱歐拉陀螺。它的慣量橢球是軸對(duì)稱的，設(shè) I1=I2，因此： ? 在本體坐標(biāo)系中，角速度矢量其大小不變，并圍繞 z 軸做角頻率為 W的勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。 對(duì)稱歐拉陀螺 3 1 23 1 1()000( ) 0 , c o n