【文章內(nèi)容簡介】 量組線性相關(guān)的步驟： S te p1 作矩陣 ? ?nnnm m m na a aa a aAa a a11 12 121 22 21212, , ,? ? ???????????????； S te p2 對矩陣A作初等行變換，將其變成行階梯形矩陣C； S te p3 若階梯形矩陣C中非零行行數(shù)rn?，則以A為系數(shù)矩陣的 齊次線性方程 組有非零解，故線性相關(guān)；而階梯形矩陣C中 非零行行數(shù)rn?，則線性無關(guān) 第二節(jié) 線性相關(guān)性 例 1 ：證明n維單位向量組? ? ? ? ? ?100,010,001 21 ???? ??? neee 線性無關(guān) 例 2 ：討論向量組.111,011,001321????????????????????????????????? aaa的 線性相關(guān)性 第二節(jié) 線性相關(guān)性 例 3 ： 設(shè)向量組? ? ? ?? ? ? ?TTA12: 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 , 1 , 2??，? ?? ? ?T33 , 1 , 2 , 2?， 問1 2 3,? ? ?是否線性相關(guān) ? 階梯形矩陣中 非零行的行數(shù)r 3?，而 向量個(gè)數(shù)n 3?， 所以 1 2 3,? ? ?是線性無關(guān)的 . 解 ： A1 2 3 1 2 3 1 2 33120 1 5 0 1 5 0 1 53210 5 7 0 0 18 0 0 183 120 0 5 0 0 5 0 0 01 2 2? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?， 第二節(jié) 線性相關(guān)性 例 4 ： 給定 向量組A：1 2 3 41 0 2 31 , 1 , 0 , 11 1 6 3? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?， 判斷它 們是否線性相關(guān) ？ 解 ：A1 0 2 3 1 0 2 3 1 0 2 31 1 0 1 0 1 2 4 0 1 2 41 1 6 3 0 1 8 0 0 0 10 4? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? 階梯形矩陣 中 非零行 的 行數(shù)r 3?， 而 向量個(gè)數(shù)n 4?， 因而向量組A1 2 3 4: , , ,? ? ? ?線性相關(guān) . 同時(shí) ， 還 可知 向量組1 2 3,? ? ?， 向量組1 2 4,? ? ?線性無關(guān) 第二節(jié) 線性相關(guān)性 例 5 ：已知向量組321, aaa線性無關(guān)， 證明向量組133322211, aabaabaab ??????也線性無關(guān) . 證一： 設(shè) ? ? ? ? ? ? 0133322211?????? aakaakaak 即 ? ? ? ? ? ? 0332221131?????? akkakkakk 321, aaa?線性無關(guān) kkkkkk131223000????? ? ?????? 由于此齊次線性方程組的系數(shù)行列式 02110011101?? 故k k k1 2 30??? 所以向量組133322211, aabaabaab ??????線性無關(guān) . 第二節(jié) 線性相關(guān)性 三 、線性相關(guān)性判別的一般性結(jié)論 關(guān)于m維向量組naaaA ?,:21的線性相關(guān)與線性無關(guān)性，有下述定理 . 定理 3 . 3 ： 下屬論斷成立： （ ⅰ ) 若向量組A的某一個(gè)部分組是線性相關(guān)的，則A是線性相關(guān)的； （ ⅱ ) 若向量組A是線性無關(guān)的，則A的任意部分組線性無關(guān)； （ i ）（ ii ）簡記： 部分相關(guān)則整體相關(guān)，整體無關(guān)則部分無關(guān) （ ⅲ ) 若向量組A線性相關(guān)，則A中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示； （ ⅳ ) 若向量組A中有一個(gè)向量可由其余向量的線性表示，則A是線性相關(guān)； 第二節(jié) 線性相關(guān)性 （ ⅴ ) 如果向量組A是線性無關(guān)的，向量組?,: 21 naaaB ?是線性相關(guān)的，則向量?可由向量組A唯一線性表示； （ ⅵ ) 如果向量組A是線性無關(guān)的，而向量?不能由向量組A線性表示，則向量組?,: 21 naaaB ?是線性無關(guān)的 . 第二節(jié) 線性相關(guān)性 例 1 ：設(shè)3維向量組 1 1 11 2 2 2 3 23 3 3,a b ca b ca b c? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?. 線性無關(guān)，把每個(gè)向量都 添上2個(gè)分量，則得到的5維向量組,54321~1?????????????????aaaaa? ,54321~2?????????????????bbbbb??????????????????54321~3ccccc?也線性無關(guān) . （稱:B ,~1? ,~2?~3?是:A1 2 3,? ? ?的延伸組；:A1 2 3,? ? ?是:B ,~1? ,~2?~3?的縮短組） 結(jié)論： （?。┤艨s短組線性無關(guān)，則延伸組也線性無關(guān)； （ⅱ）若延伸組線性相關(guān)，則縮短組也線性相關(guān) . 第二節(jié) 線性相關(guān)性 例 3 ：設(shè)向量組321 , aaa線性相關(guān)，向量組432 , aaa線性無關(guān)，證明： 1 ）1a能由32 , aa線性表示； 2 ）4a不能由321 , aaa線性表示 證明： 1 ）因向量組432, aaa線性無關(guān)，故32, aa線性無關(guān)， 而321, aaa線性相關(guān)， 所以1a能由32, aa線性表示 2 ）假設(shè)4a能由321, aaa線性表示， 而由（ 1 ）知1a能由32 , aa線性表示， 因此4a能由32, aa線性表示， 這與向量組432, aaa線性 無 關(guān) 矛盾。 第三節(jié) 向量組的秩與矩陣的秩 一、向量組的極大線性無關(guān)組與秩 定義 3 . 6 ： 如果向量組mA 12: , , ,? ? ?中每一個(gè)向量( 1 , 2 , , )iim? ?都 可由向量組tB 12: , , ,? ? ?線性表示，則稱 向量組A可以由向量組B 線性表示 ；如果兩個(gè)向量組可以互相線性表示，則稱兩個(gè)向量組 等價(jià) . 注： 1 ） 每一個(gè)向量組都可以由它自身線性表示。 2 ） 任意一個(gè)n維向量組mA 12: , , ,? ? ?都可由n維單位坐標(biāo) 向量組nE e e e12: , , ,線性表示 . 向量組等價(jià)具有下面三條基本性質(zhì)： ( 1) 自反性（或反身性）：每個(gè)向量組和它自身等價(jià)； ( 2) 對稱性：如果向量組A與B等價(jià)，則向量組B與A等價(jià)； ( 3) 傳遞性：如果向量組A與B等價(jià)，向量組B與C等價(jià)，則向量組A與C等價(jià) . 第三節(jié) 向量組的秩與矩陣的秩 例 1 ：向量組????????????????????? ?321201，能由向量組??????????????????????????????100010001，線性表示。 例 2 ：向量組??????????????????????????????111,011001，與向量組??????????????????????????????100010001，等價(jià)． 例 3 ：向量組1 2 3 41 1 1 3: 0 , 1 , 1 , 20 0 1 1A ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?， 顯然 向量組B中的每一個(gè)向量可以由向量組A線性表示； 因4 1 2 3? ? ? ?? ? ?， 所以 向量組A中每一個(gè)向量能夠由向量組B線性表示， 因此向量組A與部分組B等價(jià) . 注： 向量組等價(jià)的條件只要互相線性表示，而無需所含向量個(gè)數(shù)相等。 如???????????????11A，???????????????? RkkB ,11，顯然BA ?。矩陣等價(jià)的條件必 須同型矩陣，且一個(gè)矩陣可以通過有限次初等變換變?yōu)榱硪粋€(gè)矩陣。 向量組1 2 3111: 0 , 1 , 10 0 1B ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， 第三節(jié) 向量組的秩與矩陣的秩 定理 3 . 4 ： 設(shè)sA ??? ,: 21 ?與tB ??? ,: 21 ?是兩個(gè)由相同維數(shù)的向量構(gòu)成的向量組，如果 （?。┫蛄拷MsA ??? ,: 21 ?可以由tB ??? ,: 21 ?線性表示 . （ⅱ）ts ?。 那么向量組sA ??? ,: 21 ?一定線性相關(guān) . 推論 3 . 4 . 1 ： 如果向量組sA ??? ,: 21 ?可由向量組tB ??? ,: 21 ?線性表示，而且sA ??? ,: 21 ?線性無關(guān)，那么ts ?. 推論 3 . 4 . 2 ： 任意1n ?個(gè)n維向量必線性相關(guān) . 推論 3 . 4 . 3: 等價(jià)的線性無關(guān)的向量組，一定包含相同個(gè)數(shù)的向量 . 第三節(jié) 向量組的秩與矩陣的秩 定義 3 .7 ： 向量組A的一個(gè)部分組B稱為它的一個(gè) 極大（最大） 線性無關(guān)組 ，如果 ( ⅰ ) 部分組B是線性無關(guān)的； ( ⅱ ) 向量組A中每一個(gè)向量都能夠由部分組B線性表示 . 注： 1 ） 向量組的 極 大無關(guān)組 一般不 唯一 2 ）向量組與它的極大無關(guān)組是等價(jià)的，由傳遞性， 向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組是等價(jià)的