【文章內(nèi)容簡介】 *HXX ??****HHAX AX A XAX?????例： 已知矩陣范數(shù) 求與之相容的一個向量范數(shù)。 解：取 。設(shè) *11mnijijA A a???? ??? ?0 1 0 T? ?? ?12 TnX x x x?那么 矩陣的譜半徑及其性質(zhì) 定義： 設(shè) ， 的 個特征值為 ，我們稱 為 矩陣 的譜半徑 。 例 1 ： 設(shè) ，那么 1*1nHiiX X x X??? ? ??mnAC ?? nA12, , , n? ? ?12( ) m ax { , , , }nA? ? ? ??AmnAC ??()AA? ?這里 是矩陣 的任何一種范數(shù)。 例 2 ： 設(shè) 是一個正規(guī)矩陣，則 證明： 因為 A AA2()AA? ?22 2220022m a x m a x( ) ( )HHHXXHAX X A AXAXXXA A A????????于是有 例 3 ： 設(shè) 是 上的相容矩陣范數(shù)。證明： （ 1） （ 2） 為可逆矩陣， 為 的特征值 則有 2()AA? ?nnC ?1I ?A ? A11AA ?????例 5 ： 如果 ，則 均為可逆矩陣，且 這里 是矩陣 的算子范數(shù)。 1A ? IA?111()11IAAA?? ? ???AA特征值估計 ? 粗略估計 ? 圓盤定理 （ 1） 2 2 21| Re ( ) | | Re ( ) | | | | |nFλ λ B+ + ?L定理 1 (Schur)設(shè) 的特征值為 ，則 A1 , nλ λL（ 2） 2 2 21| | | | | | | |nFλ λ A+ + ?L2 2 21| Im ( ) | | Im ( ) | | | | |nFλ λ C+ + ?L（ 3） 這里 。 1122 ) , )(( HHBC A A A A== +并且當(dāng)且僅當(dāng) 是正規(guī)矩陣時，等號成立。 A（ 1）的證明 ： 2 2 2| | | | | | | | | | | |HF F FA UTU T==設(shè) 的 Schur分解為 ，上三角陣 的主對角元就是矩陣 的特征值。所以根據(jù) F范數(shù)的酉不變性，有 ) , ( 1 , 2 , , )( rsT t r s n== L、HA U T U=AAT2 2 211| | | | | |nni r s ii r s iλ t λ= == + ?邋 ?（ 2）的證明 ： 2212| | | | | | ( ) | |HFFB T T=+由于 ，因此 12 () HHB U T T U=+221 22ii r s s rni r sttλ λ=?++=+邋221||| R e( ) |2nrsii r stλ==+邋21| R e( ) |niiλ=179。 229。在上述證明中，當(dāng)且僅當(dāng) 是正規(guī)矩陣時，上三角陣 為對角矩陣，即 因此等號都成立。 0 ( )rst r s=AT（ 1） 1,| R e( ) | m a x | |2 i j j ii j nnλ aa＃Ｗ +推論 11(Hirsch)對 的任意特征值 ，有 Aλ（ 2） 1,| | m a x | |iji j nλ na＃Ｗ1,| I m ( ) | m a x | |2 i j j ii j nnλ aa＃Ｗ +（ 3） （ 1）的證明 ： 2 2 21| | | | | | | |niFiλ λ A=? 229。 211||nnijija=== 邋221,( m ax | | )iji j nna＃Ｗ因此 | | | | | | Fλ A163。1,m a x | |iji j nna＃Ｗ20 5 4 10 11 2 10Ai驏琪琪= 琪琪琪桫例 1 矩陣 按推論 11所得特征值的變化范圍為 帶型區(qū)域 ： { | | 6 0} { | R e ( ) | 6 0, | I m ( ) | 3 0 }z z z z z＃ ?I這個結(jié)果顯然比相應(yīng)的 Gerschgorin區(qū)域差。 定義 2 對方陣 ，稱 () nnijA a C 180。=?( ) { | | } , 1 , ,i i i iG A z C z a R i n? ? ? ? ?為矩陣 的 行蓋爾（ Gerschgorin）圓 。稱并集 為矩陣 的 行蓋爾 （ Gerschgorin）區(qū)域 。這里 AA1()niiGA?1,|| jjnijiiRa? ?? ?類似地，可定義矩陣 的 列蓋爾圓 。 A定理 3 （ Gerschgorin） 對方陣 () nnijA a C 180。=?（ 1）矩陣 的特征值都位于其行蓋爾區(qū)域內(nèi)； A（ 2）若矩陣 有 個蓋爾圓構(gòu)成的并集 是連通區(qū)域，并且與其余 個蓋爾圓均不相交，則 中恰好有 的 個特征值。 GmAnm?G mA1, 1 , ,njkkj ka x x j n?????（ 1）的證明 ： 設(shè) 有特征對 ，這里 ，則 ( , )λ xA 1( , , ) Tnx x x= L1 , 1 ,| ( ) | | | | |p p p p ppk k k kk pnnkk ka x a x a x?? ? ? ?? ? ? ???令 ，則 ，因此 | | m a x | |jjpxx= | | 0px 185。1,| | | | | |p p pnkpk pkx a x R??? ? ? ? ??從而 ||pp paR? ??20 5 4 10 11 2 10Ai驏琪琪= 琪琪琪桫例 2 矩陣 的三個行 Gerschgorin圓分別是： 1 ( ) { | 20 | 5. 8}G A z C z= ? ?2 ( ) { | 1 0 | 5}G A z C z= ? ?3 ( ) { | 10 | 3 }G A z C z i= ? ?0 5 10 15 20 2564202468101214Wilkson在名著 《 代數(shù)特征值問題 》 中，先將矩陣變換成 Jordan標(biāo)準(zhǔn)型，再用 Gerschgorin定理和對角相似變換，對不同特征值結(jié)構(gòu)的特征值問題進行了細(xì)致的擾動分析。 A因為相似變換不改變特征值，為了得到特征值的更加準(zhǔn)確的估計， Gerschgorin發(fā)現(xiàn)可以將矩陣 變換為其相似矩陣 ，以減少Gerschgorin圓的半徑，達(dá)到 隔離 Gerschgorin 圓的目的。為計算方便，常常取 為對角矩陣 1B D AD=D20 5 4 10 11 2 10Ai驏琪琪= 琪琪琪桫例 3 矩陣 經(jīng)過對角相似變換 后