【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 = mgcosθ－ ma sinθ看小球脫離斜面的條件，求脫離斜面后，θ條 件已沒(méi)有意義。答： T = m 22 ag ? 。） 學(xué)生活動(dòng)：用正交分解法解本節(jié)第 2 題“進(jìn)階練習(xí) 2” 進(jìn)階練習(xí)：如圖 9所示，自動(dòng)扶梯與地面的夾角為 30176。，但扶梯的臺(tái)階是水平的。當(dāng)扶梯以 a = 4m/s2的加速度向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，站在扶梯上質(zhì)量為 60kg的人相對(duì)扶梯靜止。重力加速度 g = 10 m/s2，試求扶梯對(duì)人的靜摩擦力f 。 解：這是一個(gè)展示獨(dú)立作用性原理的經(jīng)典例題，建議學(xué)生選 擇兩種坐標(biāo)（一種是沿 a方向和垂直 a 方向，另一種是水平和豎直方向），對(duì)比解題過(guò)程，進(jìn)而充分領(lǐng)會(huì)用牛頓第二定律解題的靈活性。 答： 208N 。 如圖 10 所示，甲圖系著小球的是兩根輕繩，乙圖系著小球的是一根輕彈簧和輕繩，方位角θ已知?，F(xiàn)將它們的水平繩剪斷，試求：在剪斷瞬間，兩種情形下小球的瞬時(shí)加速度。 解說(shuō)：第一步，闡明繩子彈力和彈簧彈力的區(qū)別。 （學(xué)生活動(dòng)）思考：用豎直的繩和彈簧懸吊小球，并用豎直向下的力拉住小球靜止，然后同時(shí)釋放，會(huì)有什么現(xiàn)象？原因是什么？ 結(jié)論 —— 繩子的彈 力可以突變而彈簧的彈力不能突變（胡克定律）。 第二步，在本例中，突破“繩子的拉力如何瞬時(shí)調(diào)節(jié)”這一難點(diǎn)（從即將開(kāi)始的運(yùn)動(dòng)來(lái)反推）。 知識(shí)點(diǎn)，牛頓第二定律的瞬時(shí)性。 答案： a 甲 = gsinθ ； a 乙 = gtgθ 。 應(yīng)用：如圖 11 所示，吊籃 P 掛在天花板上，與吊籃質(zhì)量相等的物體 Q 被固定在吊籃中的輕彈簧托住，當(dāng)懸掛吊籃的細(xì)繩被燒斷瞬間， P、 Q的加速度分別是多少？ 解：略。 答： 2g ； 0 。 三、牛頓第二、第三定律的應(yīng)用 要點(diǎn)：在動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中，如果遇到幾個(gè)研究對(duì)象時(shí)，就會(huì)面臨如何處理對(duì)象之間的力和對(duì)象與外 界之間的力問(wèn)題，這時(shí)有必要引進(jìn)“系統(tǒng)”、“內(nèi)力”和“外力”等概念，并適時(shí)地運(yùn)用牛頓第三定律。 在方法的選擇方面，則有“隔離法”和“整體法”。前者是根本，后者有局限，也有難度，但常常使解題過(guò)程簡(jiǎn)化，使過(guò)程的物理意義更加明晰。 對(duì) N 個(gè)對(duì)象，有 N 個(gè)隔離方程和一個(gè)（可能的）整體方程，這（ N + 1）個(gè)方程中必有一個(gè)是通解方程，如何取舍，視解題方便程度而定。 補(bǔ)充：當(dāng)多個(gè)對(duì)象不具有共同的加速度時(shí)，一般來(lái)講，整體法不可用，但也有一種特殊的“整體方程”，可以不受這個(gè)局限（可以介紹推導(dǎo)過(guò)程） —— Σ 外F? = m1 1a? + m2 2a? + m3 3a? + ? + mn na? 其中Σ 外F? 只能是系統(tǒng)外力的矢量和，等式右邊也是矢量相加。 如圖 12所示，光滑水平面上放著一個(gè)長(zhǎng)為 L的均質(zhì)直棒，現(xiàn)給棒一個(gè)沿棒方向的、大小為 F的水平恒力作用，則棒中各部位的張力 T隨圖中 x的關(guān)系怎樣？ 解說(shuō)：截取隔離對(duì)象，列整體方程和隔離方程（隔離右段較好）。 答案： N = LF x 。 思考：如果水平面粗糙，結(jié)論又如何？ 解：分兩種情況，（ 1）能拉動(dòng)；（ 2）不能拉動(dòng)。 第（ 1）情況的計(jì)算和原題基本相同，只是多了一個(gè)摩擦力的處理，結(jié)論的化簡(jiǎn)也麻煩一些。 第（ 2）情況可設(shè)棒的總質(zhì)量為 M ，和水平面的摩擦因素為μ，而 F = μ Ll Mg ，其中 l＜ L ，則 x＜ (Ll)的右段沒(méi)有張力， x＞ (Ll)的左端才有張力。 答：若棒仍能被拉動(dòng)，結(jié)論不變。 若棒不能被拉動(dòng)，且 F = μ Ll Mg時(shí)（μ為棒與平面的摩擦因素， l為小于 L的某一值，M為棒的總質(zhì)量），當(dāng) x＜ (Ll)， N≡ 0 ；當(dāng) x＞ (Ll)， N = lF 〔 x 〈 Ll〉〕。 應(yīng)用：如圖 13所示，在傾角為θ的固定斜面上，疊放著兩個(gè)長(zhǎng)方體滑塊，它們的質(zhì)量分別為 m1和 m2 ，它們之間的摩擦因素、和斜面的摩擦因素分別為μ 1和μ 2 ，系統(tǒng)釋放后能 夠一起加速下滑，則它們之間的摩擦力大小為： A、μ 1 m1gcosθ ； B、 μ 2 m1gcosθ ； C、μ 1 m2gcosθ ； D、 μ 1 m2gcosθ ； 解：略。 答： B 。（方向沿斜面向上。） 思考：（ 1）如果兩滑塊不是 下滑，而是以初速度 v0 一起上沖，以上結(jié)論會(huì)變 嗎？（ 2）如果斜面光滑，兩滑塊之間有沒(méi)有摩擦 力？（ 3）如果將下面的滑塊換成如圖 14 所示的盒 子，上面的滑塊換成小球，它們以初速度 v0一起上 沖，球應(yīng)對(duì)盒子的哪一側(cè)內(nèi)壁有壓力？ 解：略。 答：（ 1）不會(huì)；（ 2）沒(méi)有；（ 3）若斜面光 滑，對(duì)兩內(nèi)壁均無(wú)壓力，若斜面粗糙，對(duì)斜面上方的內(nèi)壁有壓力。 如圖 15所示，三個(gè)物體質(zhì)量分別為 m1 、 m2和 m3 ，帶滑輪的物體放在光滑水平面上，滑輪和所有接觸面的摩擦均不計(jì)，繩子的質(zhì)量也不計(jì)，為使三個(gè)物體無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，水平推力F應(yīng)為多少？ 解說(shuō)： 此題對(duì)象雖然有三個(gè)，但難度不大。隔離 m2 ，豎直方向有一個(gè)平衡方程；隔離 m1 ，水平方向有一個(gè)動(dòng)力學(xué)方程；整體有一個(gè)動(dòng)力學(xué)方程。就足以解題了。 答案： F = 1 2321 mgm)mmm( ?? 。 思考：若將質(zhì)量為 m3物體右邊挖成凹形，讓 m2可以自由擺動(dòng)（而不與 m3相碰），如圖 16所示，其它 條件不變。是否可以選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)?F′，使三者無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)？如果沒(méi)有，說(shuō)明理由；如果有，求出這個(gè) F′的值。 解：此時(shí)， m2的隔離方程將較為復(fù)雜。設(shè)繩子張力為 T ， m2的受力情況如圖，隔離方程為： 222 )gm(T ? = m2a 隔離 m1 ，仍有： T = m1a 解以上兩式，可得： a = 22212 mmm?g 最后用整體法解 F即可。 答：當(dāng) m1 ≤ m2時(shí)，沒(méi)有適應(yīng)題意的 F′；22212321 mm gm)mmm( ??? 。 當(dāng) m1 ＞ m2 時(shí) ， 適 應(yīng) 題 意 的 F ′ = 一根質(zhì)量為 M的木棒，上端用細(xì)繩系在 天花板上，棒上有一質(zhì)量為m 的貓，如圖 17 所示。現(xiàn)將系木棒的繩子剪 斷，同時(shí)貓相對(duì)棒往 上爬，但要求貓對(duì)地的高度不變，則棒的加速度將是 多少？ 解說(shuō)：法一，隔離法。需要設(shè)出貓爪抓棒 的力 f ，然后列貓的平衡方程和棒的動(dòng)力學(xué)方程，解方程組即可。 法二，“新整體法”。 據(jù)Σ 外F? = m1 1a? + m2 2a? + m3 3a? + ? + mn na? ， 貓和棒的系統(tǒng)外力只有兩者的重力，豎直向下，而貓的加速度 a1 = 0 ， 所以： （ M + m ） g = m 0 + M a1 解棒的加速度 a1十分容易。 答案： MmM? g 。 四、特殊的連接體 當(dāng)系統(tǒng)中各個(gè)體的加速度不相等時(shí)，經(jīng)典的整體法不可用。如果各個(gè)體的加速度不在一條直線上， “新整體法”也將有一定的困難（矢量求和不易）。此時(shí)，我們回到隔離法，且要更加注意找各參量之間的聯(lián)系。 解題思想：抓某個(gè)方向上加速度關(guān)系。方法：“微元法”先看位移關(guān)系，再推加速度關(guān)系。、 如圖 18 所示，一質(zhì)量為 M 、傾角為θ的光滑斜面，放置在光滑的水平面上，另一個(gè)質(zhì)量為 m 的滑塊從斜面頂端釋放，試求斜面的加速度。 解說(shuō)：本題涉及兩個(gè)物體，它們的加速度關(guān)系復(fù)雜，但在垂直斜面方向上，大小是相等的。對(duì)兩者列隔離方程時(shí)，務(wù)必在這個(gè)方向上進(jìn)行突破。 （學(xué)生活動(dòng)）定型判斷斜面的運(yùn)動(dòng)情況、滑塊的運(yùn)動(dòng)情況。 位 移矢量示意圖如圖 19所示。根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，加速度矢量 a1和 a2也具有這樣的關(guān)系。 （學(xué)生活動(dòng)）這兩個(gè)加速度矢量有什么關(guān)系？ 沿斜面方向、垂直斜面方向建 x 、 y坐標(biāo)，可得： a1y = a2y ① 且： a1y = a2sinθ ② 隔離滑塊和斜面，受力圖如圖 20 所示。 對(duì)滑塊，列 y 方向隔離方程，有： mgcosθ N = ma1y ③ 對(duì)斜面，仍沿合加速度 a2方向列方程，有： Nsinθ = Ma2 ④ 解①②③④式即可得 a2 。 答案： a2 = gsinmM cossinm 2 ?? ?? 。 （學(xué)生活動(dòng)）思考：如何求 a1的值？ 解： a1y已可以通過(guò)解上面的方程組求出； a1x只要看滑塊的受力圖，列 x方向的隔離方程即可，顯然有 mgsinθ = ma1x ， 得 :a1x = gsinθ 。最后據(jù) a1 = 2y12x1 aa ? 求 a1 。 答： a1 = ????? ? 222 s i n)M2m(mMs i nmM s i ng 。 如圖 21 所示，與水平面成θ角的 AB 棒上有一滑套 C ，可以無(wú)摩擦地在棒上滑動(dòng)，開(kāi)始時(shí)與棒的 A 端相距 b ，相對(duì)棒靜止。當(dāng)棒保持傾角θ不變地沿水平面勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為 a（且 a＞ gtgθ）時(shí)，求滑套 C從棒的 A端滑出所經(jīng)歷的時(shí)間。 解說(shuō)：這是一個(gè)比較特殊的“連接體問(wèn) 題”，尋求運(yùn)動(dòng)學(xué)參量的關(guān)系似乎比動(dòng)力學(xué)分析更加重要。動(dòng)力學(xué)方面，只需要隔離滑套 C就行了。 （學(xué)生活動(dòng)）思考：為什么題意要求 a＞ gtgθ？（聯(lián)系本講第二節(jié)第1題之“思考題”） 定性繪出符合題意的運(yùn)動(dòng)過(guò)程圖，如圖 22 所示： S表示棒的位移，S1表示滑套的位移。沿棒與垂直棒建直角坐標(biāo)后， S1x表示 S1在 x方向上的分量。不難看出： S1x + b = S cosθ ① 設(shè)全程時(shí)間為 t ，則有： S = 21 at2 ② S1x = 21 a1xt2 ③ 而隔離滑套，受力圖如圖 23所示，顯然： mgsinθ = ma1x ④ 解①②③④式即可。 答案： t = ??? singcosa b2 另解：如果引進(jìn)動(dòng)力Σ 外F? + F? * = 學(xué)在非慣性系中的修正式 m a? （注： F? *為慣性力），此題極簡(jiǎn)單。過(guò)程如下 —— 以棒為參照，隔離滑套，分析受力，如圖 24所示。 注意，滑套相對(duì)棒的加速度 a 相 是沿棒向上的，故動(dòng)力學(xué)方程為： F*cosθ mgsinθ = ma 相 （ 1） 其中 F* = ma （ 2） 而且，以棒為參照，滑套的相對(duì)位移 S 相 就是 b ，即： b = S 相 = 21 a 相 t2 （ 3） 解（ 1）（ 2）（ 3）式就可以了。 第三章 運(yùn)動(dòng)學(xué) 第一講 基本知識(shí)介紹 一． 基本概念 1． 質(zhì)點(diǎn) 2． 參照物 3． 參照系 —— 固連于參照物上的坐標(biāo)系（解題時(shí)要記住所選的是參照系，而不僅是一個(gè)點(diǎn)） 4．絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)： v 絕 =v 相 +v 牽 二．運(yùn)動(dòng)的描述 1．位置： r=r(t) 2．位移：Δ r=r(t+Δ t)－ r(t) 3．速度： v=limΔ t→ 0Δ r/Δ ： v=dr/dt, 表示 r 對(duì) t 求導(dǎo)數(shù) ４．加速度 a=an+aτ。 an:法向加速度，速度方向的改變率，且 an=v2/ρ ,ρ叫做曲率半徑，（這是中學(xué)物理競(jìng)賽求曲率半徑的唯一方法） aτ : 切向加速度，速度大小的改變率。 a=dv/dt 5．以上是運(yùn)動(dòng)學(xué)中的基本物理量，也就是位移、位移的一階導(dǎo)數(shù)、位移的二階導(dǎo)數(shù)。可是三階導(dǎo)數(shù)為什么不是呢？因?yàn)榕ｎD第二定律是 F=ma,即直接和加速度相聯(lián)系。（ a對(duì) t 的導(dǎo)數(shù)叫“急 動(dòng)度”。） 6．由于以上三個(gè)量均為矢量，所以在運(yùn)算中用分量表示一般比較好 三． 等加速運(yùn)動(dòng) v(t)=v0+at r(t)=r0+v0t+1/2 at2 一道經(jīng)典的物理問(wèn)題：二次世界大戰(zhàn)中物理學(xué)家 曾經(jīng)研究，當(dāng)大炮的位置固定，以同一速度 v0沿各種角度發(fā)射，問(wèn)：當(dāng)飛機(jī)在哪一區(qū)域飛行之外時(shí)，不會(huì)有危險(xiǎn)？（注：結(jié)論是這一區(qū)域?yàn)橐粧佄锞€，此拋物線是所有炮彈拋物線的包絡(luò)線。此拋物線為在大炮上方 h=v2/2g處，以 v0平拋物體的軌跡。） 練習(xí)題： 一盞燈掛在離地板高 l2,天花板下 面 l1處。燈泡爆裂，所有碎片以同樣大小的速度 v 朝各個(gè)方向飛去。求碎片落到地板上的半徑（認(rèn)為碎片和天花板的碰撞是完全彈性的，即切向速度不變，法向速度反向；碎片和地板的碰撞是完全非彈性的，即碰后靜止。） 四． 剛體的平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 1． 我們講過(guò)的圓周運(yùn)動(dòng)是平動(dòng)而不是轉(zhuǎn)動(dòng) 2． 角位移φ =φ（ t） , 角速度ω =dφ /dt , 角加速度ε =dω /dt 3． 有限的角位移是標(biāo)量，而極小的角位移是矢量 4． 同一剛體上兩點(diǎn)的相對(duì)速度和相對(duì)加速度 兩點(diǎn)的相對(duì)距離不變，相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧， VA=VB+VAB,在 AB連線上 投影： [VA]A